رولیٹ کا معیاری انحراف
رولیٹ کا معیاری انحراف، تغیرریاضیتغیراس بات کا پیمانہ کہ نتائج متوقع قدر کے گرد کتنی دور تک پھیلتے ہیں۔ ایک نمبر کے داؤ میں زیادہ، برابر ادائیگی کے داؤں میں کم۔پورا پڑھیں → کا مربع جذر، نتیجے اور اس کی توقع کے درمیان عام فاصلہ ہے۔
ہر $1 داؤ پر، اکیلے نمبر کے لیے σ، 5.84 اور سرخ کے لیے 1.00 ہے۔ نشست کے لیے داؤ اور اسپنوں کی تعداد کے مربع جذر سے ضرب دیں۔
انگوٹھے کا قاعدہ
تقریباً دو تہائی نشستیں توقع کے ایک σ کے اندر اور 95% دو کے اندر آتی ہیں۔ $10 کے 100 سرخداؤسرخ18 سرخ نمبروں پر برابر ادائیگی کا داؤ۔ فرانسیسی: rouge۔پورا پڑھیں → اسپن کے لیے (متوقع −$27، σ = $100) زیادہ تر نشستیں −$127 اور +$73 کے درمیان، اور تقریباً تمام −$227 اور +$173 کے درمیان آتی ہیں۔ اس حد کے باہر نتیجہ اس بات کے سوا کسی چیز کا ثبوت نہیں کہ بیس میں ایک نشست ایسی ہوتی ہے۔
√N کیوں
متوقع نقصانریاضیمتوقع نقصانمتوقع قدر کو کل لگائی گئی رقم سے ضرب دینے پر حاصل ہونے والی رقم؛ نشست یا مدت میں اوسطاً ہارنے والی رقم۔پورا پڑھیں → N کے تناسب سے بڑھتا ہے؛ پھیلاؤ √N کے تناسب سے بڑھتا ہے۔ چھوٹے N کے لیے پھیلاؤ غالب ہوتا ہے اور نشستیں معمولی جھکاؤ والے سکہ اچھالنے کی مانند ہوتی ہیں۔ بڑے N کے لیے نقصان پھیلاؤ سے آگے نکل جاتا ہے۔ وہ نقطۂ عبور، جہاں متوقع نقصان ایک معیاری انحرافریاضیمعیاری انحرافتغیر کا مربع جذر؛ نتیجے کا متوقع قدر سے عام فاصلہ۔پورا پڑھیں → کے برابر ہوتا ہے، برابر رقم کے لیے N = (σ/edge)² = (1/0.027)² ≈ 1,370 اسپن اور اکیلے نمبروںداؤایک نمبر کا داؤایک نمبر، ادائیگی 35:1۔پورا پڑھیں → کے لیے (5.84/0.027)² ≈ 46,800 ہے۔ ان اعداد کے نیچے قسمت فیصلہ کرتی ہے؛ ان کے اوپر برتری۔
اسے استعمال کرنا
یہ جانچنے کے لیے کہ نشست غیر معمولی تھی یا نہیں، (نتیجہ − EV)/σ نکالیں۔ $10 کا سرخ داؤ لگانے والا جو 100 اسپن +$150 پر ختم کرے، (150 + 27)/100 = 1.77σ پر ہے، 25 میں ایک نتیجہ: خوش قسمت، مگر غیر معمولی نہیں۔ اسی +$150 پر اکیلے نمبر کا داؤ لگانے والا 0.3σ پر ہے: عام رات۔ ایک ہی ڈالر نتیجہ مختلف داؤ میں مختلف مطلب رکھتا ہے۔
تناسب کی معیاری غلطی
یہی حساب بتاتا ہے کہ ڈیٹا میں برتری دیکھنے کے لیے کتنے اسپن درکار ہیں۔ مشاہدہ شدہ جیت کے تناسب کی معیاری غلطی √(p(1 − p)/N) ہے۔ N = 1,000 کے ساتھ سرخ کے لیے: √(0.4865 × 0.5135 / 1000) ≈ 1.6%۔ منصفانہ سکے اور سرخ کے درمیان فرق 1.35% ہے، اس لیے 1,000 اسپن کے بعد بھی آپ اعتماد سے دونوں میں فرق نہیں بتا سکتے۔ 10,000 کے بعد معیاری غلطی 0.5% ہے اور آپ بتا سکتے ہیں۔ یہی وجہ ہے کہ پہیے کے تعصب کی شناخت کے لیے اتنے اسپن درکار ہوتے ہیں۔
ٹیڑھاپن سے احتیاط
مختصر نشست میں اکیلے نمبر کے نتائج معمول کی تقسیم سے بہت دور ہیں: زیادہ تر نشستیں فی اسپن مستقل −$10 اور کبھی کبھار +$350 کی چھلانگیں ہیں۔ ±1σ قاعدہ پھیلاؤ کو درست بیان کرتا ہے مگر سینکڑوں اسپن سے پہلے شکل کو کمزور طور پر۔ برابر-رقم داؤداؤبرابر ادائیگی کا داؤسرخ/سیاہ، طاق/جفت، بڑا/چھوٹا۔ 18 نمبر، ادائیگی 1:1۔پورا پڑھیں → کے لیے معمول کا تقرب تقریباً 30 اسپن سے اچھا ہے۔
فارمولا
سوالات
یہ ثبوت ہے کہ آپ نے تقریباً 40 نشستیں کھیلیں، یا چالیس میں ایک خوش قسمت نشست آپ کی تھی۔ دہرائیں۔
یہ کم سے کم جھولتا ہے: اوسط کی معیاری غلطی σ/√N ہے۔ N = 10,000 پر یہ داؤ کا 1% ہے۔
ریاضی کے ساتھ تفریح
پہلے خود انہیں حل کرنے کی کوشش کریں۔ ہر حل بند ہے؛ جب تیار ہوں تو کھولیں۔
یورپی پہیے کے 100 اسپنوں میں، سرخداؤسرخ18 سرخ نمبروں پر برابر ادائیگی کا داؤ۔ فرانسیسی: rouge۔پورا پڑھیں → پر ایک اکائیرقماکائیوہ بنیادی داؤ کی رقم جس میں کوئی نظام یا کھلاڑی کام کرتا ہے۔ داؤ بڑھانے کے نظام اکائیوں میں بیان ہوتے ہیں تاکہ ہر میز پر لاگو ہوں۔پورا پڑھیں → 51 یا زیادہ جیتوں کے ساتھ آگے ہے، اور ایک نمبر کے داؤداؤایک نمبر کا داؤایک نمبر، ادائیگی 35:1۔پورا پڑھیں → پر ایک اکائی تب آگے ہے اگر اس کا نمبر کم از کم 3 بار آئے۔ دونوں امکانات کا تخمینہ گھنٹی نما منحنی سے لگائیں، پھر درست جوابات سے موازنہ کریں۔
حل دکھائیں
جواب سرخ: گھنٹی نما منحنی 35.6% دیتا ہے اور درست جواب 35.5% ہے۔ ایک نمبر کا داؤ: منحنی 55.0% اور درست جواب 50.9% دیتا ہے۔ یہ مختصر طریقہ سرخ کے لیے چلتا اور ایک نمبر کے لیے چوک جاتا ہے۔
سرخ: جیتوں کی اوسط 100 × 18/37 = 48.6 ہے، پھیلاؤ √(100 × 18/37 × 19/37) = 5.0 کے ساتھ۔ آگے ہونے کا مطلب 51 یا زیادہ ہے؛ آدھا نشان، 50.5، اوسط سے 0.37 پھیلاؤ اوپر ہے، اور گھنٹی نما منحنی اس کے اوپر 35.6% رکھتا ہے۔ 51، 52 … 100 جیتوں کے درست امکانات جمع کرنے سے 35.5% ملتا ہے۔
ایک نمبر کا داؤ: آمدوں کی اوسط 100/37 = 2.70 ہے، پھیلاؤ √(100 × 1/37 × 36/37) = 1.62 کے ساتھ۔ تین یا زیادہ آمدیں 2.5 سے اوپر ہیں، اوسط سے 0.12 پھیلاؤ نیچے: گھنٹی نما منحنی سے 55.0%۔ درست طور پر یہ 0، 1 اور 2 آمدوں کے امکانات میں سے 1 منفی ہے، 6.5% + 17.9% + 24.7%، جس سے 50.9% بچتا ہے۔
گھنٹی نما منحنی کو اوسط کے دونوں طرف بہت سے نتائج درکار ہوتے ہیں۔ سرخ کے پاس 100 اسپنوں کے بعد وہ ہیں؛ جو نمبر اوسطاً تین سے کم بار آتا ہے اس کے پاس نہیں۔ منحنی “کوئی آمد نہیں” کو بھی 8.7% دیتا ہے، جہاں حقیقی امکان 6.5% ہے۔ Taylor (2021) اسی طرح دو رقمی تقسیم اور گھنٹی نما منحنی کو ساتھ رکھتا ہے۔
مزاحیہ وقفہ
بیس میں ایک نشست دو سگما سے باہر ہے۔ کوئی نہ کوئی ہمیشہ دم میں ہوتا ہے۔
ذرائع
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.