دیوالیہ ہونے کا خطرہ
ہدف تک پہنچنے سے پہلے اپنا پورا کھیل کا سرمایہ ہارنے کا امکان۔
برابر-رقم داؤ کے لیے، دیوالیہ ہونے کا خطرہ جواری کے دیوالیہ پن کے فارمولے کے مطابق ہے۔ $500 کے کھیل کا سرمایہ، $10 داؤ اور $600 ہدف کے ساتھ آپ تقریباً 57% بار ہدف تک پہنچتے ہیں اور باقی میں دیوالیہ ہوتے ہیں۔
سوال
آپ کے پاس a اکائیوںرقماکائیوہ بنیادی داؤ کی رقم جس میں کوئی نظام یا کھلاڑی کام کرتا ہے۔ داؤ بڑھانے کے نظام اکائیوں میں بیان ہوتے ہیں تاکہ ہر میز پر لاگو ہوں۔پورا پڑھیں → کا کھیل کا سرمایہرقمکھیل کا سرمایہکھیل کے لیے الگ رکھی ہوئی کل رقم۔ کھیل کے سرمائے کا انتظام یہ طے کرتا ہے کہ فی داؤ اور فی نشست اس کا کتنا حصہ خطرے میں ڈالا جائے۔پورا پڑھیں → ہے اور آپ p = 18/37 جیت کے امکانریاضیامکانکسی نتیجے کا امکان، 0 سے 1 یا 0% سے 100% تک۔ ایک نمبر: 1/37 = 2.70%۔پورا پڑھیں → اور q = 19/37 ہار کے امکان کے ساتھ ایک برابر-رقم داؤداؤبرابر ادائیگی کا داؤسرخ/سیاہ، طاق/جفت، بڑا/چھوٹا۔ 18 نمبر، ادائیگی 1:1۔پورا پڑھیں → پر ہر بار ایک اکائی لگا کر a + b اکائیوں تک پہنچنا چاہتے ہیں۔ صفر تک پہنچنے سے پہلے ہدف تک پہنچنے کا امکان کیا ہے؟ Pascal، Fermat اور Huygens نے 1650 کی دہائی میں اسے حل کیا، اور یہ امکان کے قدیم ترین نتائج میں سے ہے۔
جواری کے دیوالیہ پن کا فارمولا
P(reach target) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ)۔ دیوالیہ ہونے کا خطرہریاضیدیوالیہ ہونے کا خطرہہدف یا اسپن کی تعداد تک پہنچنے سے پہلے پورا کھیل کا سرمایہ ہارنے کا امکان۔پورا پڑھیں → اس کا ایک سے منفی ہے۔ q/p = 19/18 ≈ 1.0556 کے ساتھ یہ تناسب اکائیوں کی تعداد میں تیزی سے بڑھتا ہے، اس لیے فارمولا چھوٹی اکائیوں کو سخت سزا دیتا ہے: ہدف تک پہنچنے کے لیے جتنے زیادہ داؤ درکار ہوں، راستے میں 2.70% محصول اتنی ہی بار ادا ہوتا ہے۔
اسے سمجھنا
چھوٹی اکائیاں نقصان دیتی ہیں۔ $10 داؤ سے $500 کو دوگنا کرنے کی کوشش 6% بار کامیاب ہوتی ہے؛ $500 کے ایک داؤ سے 48.6% بار۔ منفی-توقع کھیل میں جرات مند کھیل، یعنی کم مگر بڑے داؤ، ہدف پانے کا امکان زیادہ سے زیادہ کرتا ہے، کیونکہ یہ کازینو برتری لگنے کی بار کم سے کم کرتا ہے۔ یہ آپ کے ساتھ ہونے والے واقعے کا تغیرریاضیتغیراس بات کا پیمانہ کہ نتائج متوقع قدر کے گرد کتنی دور تک پھیلتے ہیں۔ ایک نمبر کے داؤ میں زیادہ، برابر ادائیگی کے داؤں میں کم۔پورا پڑھیں → بھی زیادہ سے زیادہ کرتا ہے، اور شام جلد ختم کرتا ہے۔ اس قضیے کو "جرات مند کھیل بہترین ہے" کہتے ہیں، اور Dubins اور Savage نے 1965 میں اسے ثابت کیا۔
مسئلہ کہاں سے شروع ہوا
سوال رولیٹ سے پرانا ہے۔ 1656 میں Pascal نے Fermat کے سامنے ایک معمّا رکھا: دو کھلاڑی تین پاسے پھینکتے ہیں، ہر ایک کے پاس شروع میں 12 مہرے ہیں؛ 11 آنا ایک مہرہ ایک سمت لے جاتا ہے، 14 آنا دوسری سمت۔ دونوں نے اسے حل کیا، اور Huygens، جس نے ریاضی دان Pierre de Carcavi کے خط سے اس کا سنا، نے 1657 میں امکان کی پہلی کتاب کے پانچویں مسئلے کے طور پر اسے، جواب کے ساتھ مگر ثبوت کے بغیر، چھاپا۔ گیارہ 27 طریقوں سے اور چودہ صرف 15 طریقوں سے آ سکتا ہے، اس لیے ہر مہرہ پہلے کھلاڑی کی سمت 14 میں 9 بار چلتا ہے، اور اوپر کا فارمولا، ہر ایک کے 12 مہروں کے ساتھ، اسے سب کچھ جیتنے کے لیے سب کچھ ہارنے سے تقریباً 1,157 گنا زیادہ ممکن بناتا ہے۔ 2.70% برتری بہت کم ہے، مگر وہی فارمولا دکھاتا ہے کہ کئی داؤ میں اس کا کیا اثر ہوتا ہے۔
ایک حقیقی جرات مند داؤ
اپریل 2004 میں نوجوان انگریز Ashley Revell نے اپنے کپڑوں سمیت تقریباً ہر چیز بیچ دی اور $135,300 لے کر Las Vegas کے Plaza گیا۔ چند چھوٹے داؤ کے بعد اس نے پوری رقم ایک بار سرخداؤسرخ18 سرخ نمبروں پر برابر ادائیگی کا داؤ۔ فرانسیسی: rouge۔پورا پڑھیں → پر لگا دی۔ گیندسامانگیندوہ چھوٹی گیند جو گھومنے والے حصے کے الٹ پٹری میں چھوڑی جاتی ہے۔ جدید گیندیں ivorine یا Teflon کی، 18–21 mm ہوتی ہیں۔پورا پڑھیں → سرخ 7 پر ٹھہری اور وہ $270,600 لے کر باہر نکلا۔ دوہرے صفرپہیہصفرواحد سبز نمبر خانہ جسے کوئی برابر ادائیگی، درجن یا ستون داؤ نہیں ڈھانپتا؛ کازینو برتری کا ماخذ۔ اسے ایک صفر اور 0 بھی کہتے ہیں۔پورا پڑھیں → والے پہیے پر اس ایک اسپن کا امکان 47.37% اور اوسط لاگت $7,121 تھی، ایک داؤ پر 5.26% برتری۔ $10 کے داؤ میں پھیلانے پر وہی ہدف تقریباً ناممکن ہوتا۔ جرات مند کھیل داؤ کو اچھا نہیں بناتا؛ یہ اسے ممکنہ حد تک مختصر بناتا ہے۔
بغیر ہدف کے دیوالیہ ہونے کا خطرہ
اگر آپ صرف دیوالیہ ہونے تک کھیلیں یا N اسپن کے بعد رک جائیں تو سوال بن جاتا ہے: “N اسپن کے اندر میرا کھیل کا سرمایہ صفر کو چھونے کا امکان کیا ہے؟” عام N کے لیے کوئی بند صورت نہیں مگر اس سائٹ کے نقل کار اسے حساب کرتے ہیں: سرخ پر $10 کے ساتھ $500 کا کھیل کا سرمایہ 100 اسپن میں تقریباً کبھی دیوالیہ نہیں ہوتا (1% سے کم)، 500 اسپن میں تقریباً 9% بار، اور 5,000 میں تقریباً 95% بار دیوالیہ ہوتا ہے۔ رکنے کے اصول کے بغیر امکان 100% کی طرف جاتا ہے، جو کازینو برتریریاضیکازینو برتریہر داؤ کی رقم میں سے وہ حصہ جو کازینو اوسطاً رکھتا ہے: یورپی رولیٹ میں 2.70%۔پورا پڑھیں → کی طویل مدت والی صورت ہے۔
- p10 −$500
- p25 −$500
- میانہ −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
کتنی دیر، اور کتنی برتری
دو مزید کلاسیکی نتائج ان سوالوں کا جواب دیتے ہیں جو کھلاڑی واقعی پوچھتے ہیں۔ ہدف نہ ہو تو، یورپی پہیے پر مستقل برابر-رقم داؤ ہر کھیل کا سرمایہ اکائی کے بدلے اوسطاً 37 اسپن، اور امریکی پہیے پر 19 اسپن چلتے ہیں، کیونکہ ہر اسپن اوسطاً اکائی کا 1/37 لیتا ہے (امریکی پہیے پر 1/19): 100 اکائیاں اوسطاً 3,700 اسپن چلتی ہیں، اگرچہ ایسی نصف نشستیں 3,134 کے اندر ختم ہو جاتی ہیں (نشست کی مدت اور لاگت دیکھیے)۔ اور کھیل کا سرمایہ جتنا بھی بڑا ہو، یورپی پہیے پر کبھی k اکائیاں آگے ہونے کا امکان (18/19)ᵏ ہے۔ ایک اکائی کے لیے یہ 95% اور دس کے لیے 58% ہے، مگر کوئی بھی کھیل کا سرمایہ، خواہ کتنا ہی گہرا ہو، کبھی 13 اکائیاں آگے ہونے کا برابر امکان نہیں دیتا؛ امریکی پہیے پر امکان (9/10)ᵏ ہے اور 7 اکائیوں پر نصف سے نیچے چلا جاتا ہے۔
نصف نصف امکان کے لیے کھیل کا سرمایہ
سوال پلٹ دیں: سب کچھ ہارنے سے پہلے مخصوص رقم جیتنے کا کم از کم نصف نصف امکان رکھنے کے لیے کتنی رقم لانی چاہیے؟ چھوٹی جیت کے لیے زیادہ نہیں۔ بڑی جیت کے لیے مطلوبہ کھیل کا سرمایہ تیزی سے بڑھتا ہے، اور ایک حد کے بعد کوئی کھیل کا سرمایہ کافی نہیں، کیونکہ لامتناہی کھیل کا سرمایہ بھی اتنی برتری تک کبھی پہنچنے کا نصف نصف سے کم امکان دیتا ہے۔ Taylor (2021) اسے یوں کہتا ہے: امریکی پہیے پر 100 اکائیوں تک پہنچنے کا نصف نصف امکان رکھنے کے لیے 94 سے شروع کرنا پڑتا ہے، 6 جیتنے کے لیے 94 کا خطرہ۔ یورپی پہیے پر 88 درکار ہوں گی۔
عملی سبق
طے کریں کہ آپ کیا کرنا چاہتے ہیں۔ اگر مقصد مخصوص جیت ہے تو بڑے اور کم داؤ لگائیں۔ اگر مقصد طویل شام ہے تو چھوٹے داؤ لگائیں اور قبول کریں کہ کازینو برتری بڑی کل داؤ کی رقمرقمکل داؤ کی رقمنشست یا مدت میں کل لگائی گئی رقم، دوبارہ لگائی جیت کو گن کر۔ اسے handle یا action بھی کہتے ہیں۔پورا پڑھیں → کا اپنا 2.70% لے گی۔ اگر مقصد دونوں ہے تو کسی چیز کو چھوڑنا ہوگا، اور عموماً وہ ہدف ہوتا ہے۔
فارمولا
سوالات
مارٹنگیلحکمت عملیMartingaleداؤ بڑھانے کا نظام جو ہر نقصان کے بعد داؤ دگنا کرتا ہے۔ یہ کیا کرتا اور کیا نہیں، حکمت عملی حصے میں دیکھیں۔پورا پڑھیں → مختصر نشستوں کے لیے اسے کم اور طویل نشستوں کے لیے ڈرامائی طور پر بڑھاتی ہے۔ بڑی اکائی پر مستقل داؤحکمت عملییکساں داؤہر اسپن میں ایک ہی رقم داؤ پر لگانا۔ وہ بنیادی پیمانہ جس سے ہر داؤ بڑھانے کے نظام کا موازنہ ہوتا ہے۔پورا پڑھیں → اسے کم کرنے کا دیانت دار طریقہ ہے۔
اوپر کا فارمولا برابر رقم کے لیے ہے۔ زیادہ تغیر والے داؤ میں چھوٹے داؤ پر دیوالیہ ہونا زیادہ ممکن ہے اور ہدف بے قاعدہ انداز میں حاصل ہوتا ہے؛ حساب گر استعمال کریں۔
ہدف کی طرف ہر قدم دیوالیہ پن کی طرف ہر قدم سے کچھ کم ممکن ہے؛ تناسب قدموں کی تعداد پر مرکب ہوتا ہے۔
ریاضی کے ساتھ تفریح
پہلے خود انہیں حل کرنے کی کوشش کریں۔ ہر حل بند ہے؛ جب تیار ہوں تو کھولیں۔
آپ کے پاس $100 ہیں اور آپ $1,000 چاہتے ہیں، صرف سرخداؤسرخ18 سرخ نمبروں پر برابر ادائیگی کا داؤ۔ فرانسیسی: rouge۔پورا پڑھیں → پر داؤ لگاتے ہوئے۔ منصوبہ ایک: ایک وقت میں $1 لگائیں۔ منصوبہ دو: جب تک $500 سے نہ گزر جائیں اپنی ساری رقم لگائیں، پھر $1,000 تک پہنچنے جتنی ہی لگائیں۔ کون سا منصوبہ بہتر ہے، اور کتنا؟
حل دکھائیں
جواب منصوبہ دو، بہت زیادہ۔ یہ تقریباً 9.0% وقت $1,000 تک پہنچتا ہے، منصفانہ 10% کے قریب۔ منصوبہ ایک تقریباً 10²² میں 7 بار کامیاب ہوتا ہے۔
ایک منصفانہ کھیلریاضیمنصفانہ کھیلوہ کھیل جس میں کسی فریق کو برتری نہیں: ہر داؤ کی متوقع قدر صفر ہے۔پورا پڑھیں → میں، آپ جو بھی کرتے $100 سے $1,000 تک دس میں ایک بار پہنچتے، کیونکہ آپ کی رقم کی اوسط قدر $100 رہتی ہے۔
کازینو برتری ہر داؤ کا 2.70% لے لیتی ہے، اس لیے آپ جتنی کم کل رقم لگائیں، اتنے ہی دس میں ایک کے قریب رہتے ہیں۔ منصوبہ دو مٹھی بھر داؤ میں بات طے کرتا ہے: $100، $200، $400، $800 بنتے ہیں، اور پھر $200 کافی ہیں۔ یہ تقریباً 9.0% وقت کامیاب ہوتا ہے۔ منصوبہ ایک میں سفر ختم ہونے سے پہلے ہزاروں داؤ لگتے ہیں، اور ہر ایک میں چھوٹی برتری مل کر تقریباً یقینی تباہی بن جاتی ہے۔
یہ Dubins–Savage نتیجہ اپنی سادہ ترین صورت میں ہے (Epstein، 2013): اس کھیل میں جو کازینو کے حق میں ہو، جتنی رقم چاہیے اتنی لگائیں، مگر جتنی کم بار ہو سکے۔
آپ کے پاس $500 ہیں اور $1,000 چاہتے ہیں، ملتے ہی رک جائیں گے۔ آپ ایک قسم کا داؤ چنتے اور اسے اس وقت تک دہراتے ہیں جب تک ایک بار جیت نہ جائیں یا رقم ختم نہ ہو جائے۔ کون سی قسم سب سے اچھا امکان دیتی ہے؟
حل دکھائیں
جواب سرخ پر ایک $500 کا داؤ: 48.6%۔ ہر منصوبہ جو رقم کو چھوٹے داؤ میں بانٹتا ہے، اس سے برا ہے۔
ہر داؤ کی رقم یوں چنیں کہ ایک جیت کافی ہو: ایک نمبر کے داؤداؤایک نمبر کا داؤایک نمبر، ادائیگی 35:1۔پورا پڑھیں → پر $30، $1,050 جیتتے ہیں، دو نمبروں کے داؤداؤدو نمبروں کا داؤساتھ لگے دو نمبر، ادائیگی 17:1۔پورا پڑھیں → پر $60، $1,020 جیتتے ہیں، وغیرہ۔ پھر اس امکان کو گنیں کہ رقم ختم ہونے سے پہلے کم از کم ایک داؤ جیتے۔ سولہ $30 ایک نمبر کے داؤ سب کے سب (36/37)¹⁶ = 64.5% امکان کے ساتھ نہیں لگتے، اس لیے وہ 35.5% وقت $1,000 تک پہنچتے ہیں۔
جدول ہر داؤ دکھاتا ہے۔ سرخ سب سے اچھا ہے کیونکہ وہ ایک داؤ میں پہنچاتا ہے، اس لیے برتری $500 پر ایک بار ادا ہوتی ہے۔ چھ نمبروں کا داؤداؤچھ نمبروں کا داؤساتھ لگی دو قطاروں میں چھ نمبر، ادائیگی 5:1۔ فرانسیسی: sixain۔پورا پڑھیں → دوسرے نمبر پر ہے کیونکہ اسے صرف تین درکار ہیں۔ ایک درجنداؤدرجن1–12، 13–24 یا 25–36، ادائیگی 2:1۔پورا پڑھیں → کا داؤ سب سے برا ہے، 12/37 کا امکان؛ $250 اکائیوںرقماکائیوہ بنیادی داؤ کی رقم جس میں کوئی نظام یا کھلاڑی کام کرتا ہے۔ داؤ بڑھانے کے نظام اکائیوں میں بیان ہوتے ہیں تاکہ ہر میز پر لاگو ہوں۔پورا پڑھیں → میں بھی، جب تک $1,000 یا زیادہ نہ ہو، درجن صرف 46.4% وقت وہاں پہنچتا ہے۔
Bollman (2024) امریکی پہیے کے لیے یہی جدول بناتا ہے۔ اس کی درجن والی سطر میں غلطی ہے: اسے 12/38 = 31.6% لکھنا چاہیے۔
داؤداؤ کی رقم × داؤ کی تعداد$1,000 تک پہنچنے کا امکانایک نمبر کا داؤ$30 × 1635.5%دو نمبروں کا داؤ$60 × 835.9%تین نمبروں کا داؤ$90 × 534.5%چار نمبروں کا داؤ$125 × 436.7%چھ نمبروں کا داؤ$166, $166, $16841.2%درجن$500 × 132.4%سرخ$500 × 148.6%آپ سرخ پر اسپن در اسپن ایک اکائی لگاتے ہیں، ایسے کھیل کے سرمائےرقمکھیل کا سرمایہکھیل کے لیے الگ رکھی ہوئی کل رقم۔ کھیل کے سرمائے کا انتظام یہ طے کرتا ہے کہ فی داؤ اور فی نشست اس کا کتنا حصہ خطرے میں ڈالا جائے۔پورا پڑھیں → کے ساتھ جو کبھی ختم نہیں ہوتا۔ پہلے اسپن کے بعد آپ ایک اکائی آگے یا ایک اکائی پیچھے ہیں۔ اس بات کا امکان کیا ہے کہ آپ کبھی دوبارہ بالکل برابر ہوں گے؟
حل دکھائیں
جواب 37 میں 36، 97.3%۔ امریکی پہیے پر 38 میں 36، 94.7%۔
اگر پہلا اسپن جیتے (37 میں 18 بار) تو آپ ایک اکائی آگے ہیں، اور برتری ہر نہ ختم ہونے والی نشست کو نیچے کھینچتی ہے، اس لیے جلد یا بدیر آپ پھر برابر سے گزریں گے: یہ یقینی ہے۔ اگر وہ ہارے (37 میں 19 بار) تو آپ کو ایک اکائی چڑھنا ہے، اور کبھی ایک اکائی آگے ہونے کا امکان 18/19 ہے (اوپر کا جدول دیکھیے)۔
ملا کر: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37۔
عمومی طور پر امکان، اسپن جیتنے اور ہارنے کے امکانات کے فرق میں سے 1 منفی ہے: یورپی پہیے پر 1 − 1/37، امریکی پر 1 − 2/38۔ صفرپہیہصفرواحد سبز نمبر خانہ جسے کوئی برابر ادائیگی، درجن یا ستون داؤ نہیں ڈھانپتا؛ کازینو برتری کا ماخذ۔ اسے ایک صفر اور 0 بھی کہتے ہیں۔پورا پڑھیں → کے بغیر کھیل میں فرق کچھ نہیں اور امکان 1 ہے: اسکور ہمیشہ دوبارہ برابر آتا ہے۔ Epstein (2013) عمومی قاعدہ دیتا ہے۔
Pascal کا 1656 کا معمّا: دو کھلاڑی تین پاسے پھینکتے ہیں، ہر ایک 12 مہرے سے شروع کرتا ہے۔ ہر 11، ایک مہرہ پہلے کھلاڑی کو لے جاتا ہے، ہر 14 ایک دوسرے کو؛ باقی پھینک گنے نہیں جاتے۔ پہلے کھلاڑی کے تمام 24 جیتنے کا امکان کتنا ہے؟ اور اگر آپ اس کے بجائے اس دوست کے خلاف، جو بینک کا کردار ادا کرے، ہر اسپن سرخ پر 1 اکائی لگائیں، دونوں کے پاس 12 اکائیاں ہوں، تو آپ کے تمام 24 جیتنے کا امکان کتنا ہے؟
حل دکھائیں
جواب پہلا کھلاڑی تقریباً 1,158 میں 1,157 بار جیتتا ہے۔ آپ، سرخ پر، تمام 24 اکائیاں صرف تقریباً 34% وقت جیتتے ہیں۔
تین پاسوں سے 11، 27 طریقوں سے اور 14، 15 طریقوں سے بنتا ہے، اس لیے چلنے والا ہر مہرہ 42 میں 27 بار، یعنی 14 میں 9 بار، پہلے کھلاڑی کے پاس جاتا ہے۔ دونوں کے 12 سے شروع کرنے پر، سب کچھ لینے کا امکان 1/(1 + r¹²) ہے، جہاں r دوسرے فریق کے امکان کا آپ کے امکان سے تناسب ہے۔
پہلے کھلاڑی کے لیے r = 5/9، اور (5/9)¹² ≈ 0.00086، اس لیے امکان تقریباً 0.99914: 9¹² سے 5¹² کی نسبت، یا 282,429,536,481 سے 244,140,625، تقریباً 1,157 سے 1۔ Huygens نے 1657 میں عین یہی اعداد چھاپے۔
سرخ پر، صفر کی وجہ سے r = 19/18، اور (19/18)¹² ≈ 1.913: آپ کا امکان 1/2.913 ≈ 34.3% ہے۔ سکے سے 50% ملتا۔ ہر داؤ کی 2.70% برتری، درکار بہت سے داؤ کے دوران، 16 نکاتی فرق میں جمع ہو جاتی ہے۔
مزاحیہ وقفہ
جرات مند کھیل بہترین ہے۔ یہ جلد ختم بھی ہو جاتا ہے۔
ذرائع
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”