سوال: میز کی حد
$500 کی میز پر $10 کا Martingale۔ یہ کتنی بار ٹوٹتا ہے، ٹوٹنے پر کتنا ہارتا ہے، اور کیا حد بڑھانے سے مدد ملتی ہے؟
لگاتار چھ ہاریں اسے توڑ دیتی ہیں: فی چکر 1.8%، 100 اسپنوں کی نشستوں کا تقریباً 60%۔ ٹوٹنے کی لاگت $630 ہے۔ حد کو $5,000 تک بڑھانا ٹوٹنے کو کم عام (فی چکر 0.25%) اور بڑا ($5,110) کرتا ہے۔ داؤ پر لگائے ہر ڈالر کا متوقع نقصان ہر حد پر 2.70% ہے۔
سوال
ایک کھلاڑی سرخداؤسرخ18 سرخ نمبروں پر برابر ادائیگی کا داؤ۔ فرانسیسی: rouge۔پورا پڑھیں → پر $10 داؤ لگاتا ہے اور ہر ہار کے بعد رقم دوگنی کرتا ہے، جیت کے بعد دوبارہ بنیادی رقم پر آ جاتا ہے۔ میز کی زیادہ سے زیادہ حد $500 ہے۔ (a) کتنی لگاتار ہاریں داؤ بڑھانے کے نظامحکمت عملیداؤ بڑھانے کا نظامکوئی بھی قاعدہ جو پچھلے نتائج کی بنیاد پر داؤ کی رقم بدلتا ہے۔ منفی نظام نقصان کے بعد بڑھاتے ہیں، مثبت جیت کے بعد۔پورا پڑھیں → کو توڑتی ہیں؟ (b) فی چکر امکانریاضیامکانکسی نتیجے کا امکان، 0 سے 1 یا 0% سے 100% تک۔ ایک نمبر: 1/37 = 2.70%۔پورا پڑھیں → کیا ہے؟ (c) ٹوٹنے پر کیا نقصان ہوتا ہے؟ (d) $5,000 کی حد جوابوں کو کیسے بدلتی ہے؟ (e) کیا کوئی حد نظام کو منافع بخش بناتی ہے؟
حل (a)–(c)
داؤ کی رقمیں: 10، 20، 40، 80، 160، 320۔ ساتواں 640 > 500 ہو گا، اس لیے چھ ہاریں اسے توڑتی ہیں۔ (b) سرخ پر p(ہار) = 19/37؛ (19/37)⁶ = 0.0183، فی چکر تقریباً 1.8%۔ ایک چکر اوسطاً دو اسپن چلتا ہے، اس لیے 100 اسپنوں کی نشست میں تقریباً 50 چکر ہوتے ہیں اور p(کم از کم ایک ٹوٹنا) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%۔ (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630، جو 63 بنیادی اکائی داؤرقماکائیوہ بنیادی داؤ کی رقم جس میں کوئی نظام یا کھلاڑی کام کرتا ہے۔ داؤ بڑھانے کے نظام اکائیوں میں بیان ہوتے ہیں تاکہ ہر میز پر لاگو ہوں۔پورا پڑھیں → ہیں، اس $10 کے مقابلے میں جو چکر جیتنے کی کوشش کر رہا تھا۔
حل (d)
$5,000 پر: 2,560 تک داؤ کی رقمیں منظور ہیں؛ دسواں داؤ، 5,120، مسترد ہوتا ہے۔ نو ہاریں اسے توڑتی ہیں: (19/37)⁹ ≈ 0.25% فی چکر، 100 اسپنوں کی نشستوں کا تقریباً 11%۔ ٹوٹنے پر نقصان: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110۔ کھلاڑی نے بڑی تباہی کی قیمت پر کم عام تباہی خریدی ہے۔ بہت سی نشستوں میں ٹوٹنے کی متوقع لاگت $500 حد پر p × نقصان ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 فی چکر اور $5,000 پر 0.0025 × 5,110 = $12.8 ہے؛ گول کرنے کی حد تک یہ ایک ہی عدد ہے، اور یہ چکر کا متوقع نقصانریاضیمتوقع نقصانمتوقع قدر کو کل لگائی گئی رقم سے ضرب دینے پر حاصل ہونے والی رقم؛ نشست یا مدت میں اوسطاً ہارنے والی رقم۔پورا پڑھیں → ہے جس میں سے جیتنے والے چکروں کی کمائی $10 منہا ہے۔
حل (e)
نہیں۔ کسی بھی حد پر فی چکر متوقع نقصان = (چکر میں کل داؤ کی رقم) / 37 ہے، کیونکہ ہر داؤ اپنی ذات کا −1/37 ہے۔ حد صرف طے کرتی ہے کہ نقصان بہت سی چھوٹی جیتوں اور چند بڑے نقصانات کے درمیان کیسے تقسیم ہو گا۔ حد نہ ہو اور کھیل کا سرمایہرقمکھیل کا سرمایہکھیل کے لیے الگ رکھی ہوئی کل رقم۔ کھیل کے سرمائے کا انتظام یہ طے کرتا ہے کہ فی داؤ اور فی نشست اس کا کتنا حصہ خطرے میں ڈالا جائے۔پورا پڑھیں → لامحدود ہو تو داؤ بڑھانے کا نظام اس معنی میں “کام” کرے گا کہ کبھی نہیں ٹوٹے گا، اور یہ غیر محدود رقم داؤ پر لگائے گا جس کا متوقع نقصان اس غیر محدود رقم کا 2.70% ہے۔ میز کی حدمیزمیز کی حداجازت یافتہ کم سے کم اور زیادہ سے زیادہ داؤ۔ زیادہ سے زیادہ داؤ ہی دگنا کرنے والے نظاموں کو روکتا ہے۔پورا پڑھیں → وہ چیز نہیں جو Martingaleحکمت عملیMartingaleداؤ بڑھانے کا نظام جو ہر نقصان کے بعد داؤ دگنا کرتا ہے۔ یہ کیا کرتا اور کیا نہیں، حکمت عملی حصے میں دیکھیں۔پورا پڑھیں → کو کام کرنے سے روکتی ہے۔ حساب ہے۔
دو حقیقی میزیں
Thorp کی مثال $1 کی میز اور $1,000 زیادہ سے زیادہ حد کی ہے، جہاں ایک کھلاڑی ڈالر ڈالر کر کے رات کے کھانے کے لیے $30 جیتنے کی امید کرتا ہے۔ داؤ کی رقمیں 1، 2، 4 … 512 دس داؤ کی اجازت دیتی ہیں، اس لیے لگاتار دس ہاریں نظام کو توڑتی ہیں: یورپی پہیے پر ہر 785 چکروں میں ایک بار (امریکی پہیے پر ہر 613 میں ایک بار)، $1,023 کی لاگت سے۔ تیس چکر 96.2% بار سب کامیاب ہوتے ہیں۔ باقی 3.8% میں تقریباً $1,000 کا نقصان ہوتا ہے، اور شام کا اوسط نتیجہ −$9.17 ہے، جو عین $339 کا 1/37 ہے جو تیس چکر اوسطاً داؤ پر لگاتے ہیں۔ $5 کی میز جس کی زیادہ سے زیادہ حد $2,000 ہو مختلف نہیں: $1,280 تک داؤ کی رقمیں نو داؤ کی اجازت دیتی ہیں، اور ٹوٹنا یورپی پہیے پر ہر 403 چکروں میں ایک بار (امریکی پہیے پر ہر 323 میں ایک بار) آتا ہے اور $2,555 کا خرچ کرتا ہے۔
ایک امیر کھلاڑی
کم حد کے بجائے داؤ بڑھانے کے نظام کو گہرا کھیل کا سرمایہ دیں: 1,000 اکائیاں، ایک اکائی بنیادی رقم اور سرخ پر 1,000 اسپن، جب بھی اگلی دوگنی رقم باقی رقم سے زیادہ ہو تو پھر ایک اکائی سے شروع کریں۔ ہم نے ایسی دس لاکھ شاموں کی نقل کی۔ یورپی پہیے پر 52% آگے ختم ہوتے ہیں، 21% سب کچھ ہار دیتے ہیں، اور اوسط نتیجہ −124 اکائیاں ہے۔ حتیٰ کہ صفرپہیہصفرواحد سبز نمبر خانہ جسے کوئی برابر ادائیگی، درجن یا ستون داؤ نہیں ڈھانپتا؛ کازینو برتری کا ماخذ۔ اسے ایک صفر اور 0 بھی کہتے ہیں۔پورا پڑھیں → کے بغیر کھیل میں، جہاں ہر داؤ منصفانہ ہے، صرف تقریباً 60% آگے ختم ہوں گے۔ عام شام ایک چھوٹی جیت ہے؛ اوسط اس کی قیمت ان شاموں سے چکاتا ہے جو صفر پر ختم ہوتی ہیں۔
سبق
کازینو اپنی تغیرریاضیتغیراس بات کا پیمانہ کہ نتائج متوقع قدر کے گرد کتنی دور تک پھیلتے ہیں۔ ایک نمبر کے داؤ میں زیادہ، برابر ادائیگی کے داؤں میں کم۔پورا پڑھیں → کو محدود کرنے کے لیے حد مقرر کرتے ہیں، نظاموں کو شکست دینے کے لیے نہیں۔ Martingale کو شکست دینا ایک ضمنی اثر ہے جسے وہ خوشی سے لیتے ہیں، اور حساب ویسے بھی اسے شکست دے گا۔ جو کھلاڑی حد کو مسئلہ سمجھتا ہے اس نے چٹان کو ڈھلوان سمجھ لیا ہے۔
فارمولا
سوالات
یہ آپ کو بڑی حد تک زندہ رہنے دیتا ہے، جہاں ٹوٹنا کم عام اور بڑا ہوتا ہے۔ فی ڈالر متوقع نقصان نہیں بدلتا۔
داؤ کی رقمیں 10، 30، 70، 150، 310: $500 کی حد پانچ ہاروں کے بعد آتی ہے، اور ٹوٹنے کی لاگت $570 ہے۔ وہی 2.70%۔
تاکہ ایک کھلاڑی کازینو کے ایسے محفوظ ذخیرے سے زیادہ داؤ نہ لگا سکے جس کی ادائیگی وہ آسانی سے کر سکتا ہو۔ تغیر کا انتظام۔
ریاضی کے ساتھ تفریح
پہلے خود انہیں حل کرنے کی کوشش کریں۔ ہر حل بند ہے؛ جب تیار ہوں تو کھولیں۔
ایک Martingaleحکمت عملیMartingaleداؤ بڑھانے کا نظام جو ہر نقصان کے بعد داؤ دگنا کرتا ہے۔ یہ کیا کرتا اور کیا نہیں، حکمت عملی حصے میں دیکھیں۔پورا پڑھیں → سرخداؤسرخ18 سرخ نمبروں پر برابر ادائیگی کا داؤ۔ فرانسیسی: rouge۔پورا پڑھیں → پر $100 سے شروع ہوتی ہے اور خود کو ہر چکر میں زیادہ سے زیادہ n داؤ کی اجازت دیتی ہے: مسلسل n ہاروں کے بعد وہ چھوڑ کر پھر سے شروع کرتی ہے۔ ایک چکر کا اوسط نتیجہ n کے فارمولے کے طور پر لکھیں، اور یورپی پہیے پر 5، 6 اور 7 داؤ کے لیے نکالیں۔
حل دکھائیں
جواب اوسط 100 × (1 − (38/37)ⁿ) ہے: 5 داؤ کے لیے −$14.26، 6 کے لیے −$17.35 اور 7 کے لیے −$20.52۔ زیادہ داؤ کی اجازت اوسط چکر کو بہتر نہیں، بدتر کرتی ہے۔
ایک چکر $100 جیتتا ہے جب تک کہ تمام n داؤ نہ ہاریں، جو qⁿ امکان کے ساتھ ہوتا ہے، جہاں q = 19/37 ہے۔ جب سب ہارتے ہیں تو 100، 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ کی داؤ کی رقمیں 100 × (2ⁿ − 1) تک جمع ہوتی ہیں۔ اس لیے اوسط 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ) ہے۔
یہاں 2q = 38/37، جو 1 سے ذرا زیادہ ہے، اس لیے (2q)ⁿ، n کے ساتھ بڑھتا اور اوسط گرتا ہے: n = 5 سے 1.1426 اور −$14.26؛ n = 6 سے 1.1735 اور −$17.35؛ n = 7 سے 1.2052 اور −$20.52۔ طویل سیڑھی کم بار ہارتی ہے، 3.6%، 1.8% اور 0.9% چکروں میں، مگر ہر ہار دوگنی بڑی ہوتی ہے، اور ہر چکر میں زیادہ رقم میز پار جاتی ہے، ہر داؤ کے 2.70% پر۔
امریکی پہیے پر 2q = 40/38 اور اعداد −$29.24، −$36.04 اور −$43.20 (Taylor, 2021) ہیں۔ صفرپہیہصفرواحد سبز نمبر خانہ جسے کوئی برابر ادائیگی، درجن یا ستون داؤ نہیں ڈھانپتا؛ کازینو برتری کا ماخذ۔ اسے ایک صفر اور 0 بھی کہتے ہیں۔پورا پڑھیں → کے بغیر کھیل میں 2q = 1 ہے، اور سیڑھی جتنی بھی طویل ہو ہر چکر کی اوسط بالکل صفر ہے۔
“عظیم Martingale” ہار کے بعد داؤ کو دوگنا کرتی اور ایک اکائیرقماکائیوہ بنیادی داؤ کی رقم جس میں کوئی نظام یا کھلاڑی کام کرتا ہے۔ داؤ بڑھانے کے نظام اکائیوں میں بیان ہوتے ہیں تاکہ ہر میز پر لاگو ہوں۔پورا پڑھیں → بڑھاتی ہے، اس لیے داؤ 1، 3، 7، 15، 31 … ہوتے ہیں۔ داؤ نمبر 1، 2، 3 یا k پر پہلی جیت آنے پر آپ کتنا آگے ہوتے ہیں؟ $10 اکائی اور $500 زیادہ سے زیادہ کے ساتھ، ایک چکر کتنی بار ٹوٹتا ہے، اور اوسطاً کتنا خرچ کرتا ہے؟
حل دکھائیں
جواب kth داؤ پر جیت آپ کو k اکائیاں آگے چھوڑتی ہے: +1، +2، +3 وغیرہ۔ $10 اور $500 پر چکر پانچ ہاروں کے بعد 3.57% چکروں میں، −$570 پر ٹوٹتا ہے۔ اوسطاً چکر $85.73 لگائی گئی رقم میں سے $2.32 ہارتا ہے: 2.70%۔
kth داؤ 2ᵏ − 1 اکائیاں ہے: 1، 3، 7، 15، 31۔ پہلے k − 1 داؤ کا مجموعہ 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1 ہے۔ kth داؤ کی جیت 2ᵏ − 1 ادا کرتی ہے، اس لیے چکر (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k اکائیاں آگے ختم ہوتا ہے: جیت سے پہلے ہر ہار کے لیے ایک اضافی اکائی۔
$10 اکائی پر داؤ $10، $30، $70، $150 اور $310 ہیں؛ اگلا، $630، $500 زیادہ سے زیادہ سے اوپر ہے۔ لگاتار پانچ ہاریں، (19/37)⁵ = 3.57%، کی لاگت 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570 ہے۔
اوسط: جیتیں k = 1 سے 5 کے لیے (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 امکان کے ساتھ $10 × k لاتی ہیں، اور ٹوٹنا 3.57% امکان کے ساتھ $570 لے جاتا ہے؛ ملا کر −$2.32۔ لگائی گئی رقم کی اوسط $85.73 فی چکر ہے، اور 2.32/85.73 = 2.70%۔ اسی میز پر عام Martingale چھ ہاروں کے بعد، 1.83% چکروں میں، −$630 پر ٹوٹتی ہے، اور $64.20 لگائی گئی رقم میں سے $1.74 ہارتی ہے: پھر 2.70%۔
ایک کھلاڑی سرخ پر $1 پہلے داؤ والی Martingale کا منصوبہ بناتا ہے، اس میز کی حد $1,000 ہے، اس لیے دس داؤ ممکن ہیں: $1، $2، $4 اور یوں $512 تک۔ ایک چکر کتنی بار دسوں ہارتا ہے، اس میں اوسطاً کتنا وقت لگتا ہے، اور 200 داؤ کی ایک شام کتنی بار اس طرح ختم ہوتی ہے؟
حل دکھائیں
جواب ایک چکر دسوں تقریباً 784 میں ایک بار ہارتا ہے، جس کی لاگت $1,023 ہے۔ یہ اوسطاً تقریباً 1,600 داؤ ہے، اور 200 داؤ کی شام تقریباً 11% وقت حد سے ٹکراتی ہے۔ چکر پھر بھی اوسطاً $11.31 لگائی گئی رقم میں سے $0.31 ہارتا ہے: 2.70%۔
سرخ کا داؤ صفر سمیت 19/37 امکان کے ساتھ ہارتا ہے۔ مسلسل دس: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128، تقریباً 784 میں 1۔ داؤ کی رقمیں 1 + 2 + 4 + … + 512 مل کر $1,023 ہوتی ہیں۔
ایک چکر اوسطاً 2.05 داؤ لیتا ہے، اس لیے 784 چکر تقریباً 1,600 داؤ لیتے ہیں۔ اسپن بہ اسپن گننے پر دس ہاروں کا سلسلہ 200 داؤ میں کہیں نہ کہیں 11.3% وقت آتا ہے۔
تباہیوں کے بیچ کھلاڑی فی چکر $1 جیتتا ہے: برے چکر سے پہلے تقریباً $783، پھر −$1,023، پورے وقفے میں تقریباً −$240۔ فی چکر: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31۔ فی چکر لگی رقم: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31۔ اور −0.31/11.31 = −2.70%۔
$500 حد پر $10 پہلے داؤ، یعنی چھ داؤ، سے موازنہ کریں: حد 55 چکروں میں ایک بار آتی ہے، اور 200 داؤ کی شام 84% وقت اس سے ملتی ہے۔ بلند حد حادثے کو کم بار اور بڑا بناتی ہے، سستا نہیں۔
مزاحیہ وقفہ
ہر حد پر کم عام اور بڑا۔ حاصل ضرب مستقل ہے۔
ذرائع
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.