رولیٹ میں لگاتار نتائج کا امکان
ایک رنگ کے طویل سلسلے عام ہیں۔ اگلے اسپن کے لیے ان کا کوئی مطلب بھی نہیں۔
مسلسل پانچ سرخ: 2.7%۔ دس: 0.074%۔ 200-اسپن کی نشست میں ایک رنگ کا چھ کا سلسلہ نصف سے زیادہ بار ظاہر ہوتا ہے۔
ہار کا سلسلہ کتنی بار آتا ہے
واحد صفر والے پہیے پر یکساں رقم والا داؤ 37 میں 19 اسپن ہارتا ہے۔ ہر سطر یہ امکان دکھاتی ہے کہ دیے گئے اسپنوں کا سلسلہ مکمل طور پر ہارے، اور Martingale کھلاڑی، جو ہر ہار کے بعد رقم دگنی کرتا ہے، تب تک کتنا ہار چکا ہو گا۔
| مسلسل ہاریں | امکان | تقریباً 1 میں | اب تک ہارا | اگلا داؤ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
امکان 19/37 ہے، جو ہر ہار کے لیے خود سے ضرب دیا جاتا ہے، اور ایک دیے گئے اسپن سے گنا جاتا ہے۔ طویل نشست میں بہت سے اسپن ہوتے ہیں جہاں ایسا سلسلہ شروع ہو سکتا ہے، اس لیے ایک شام میں اس کا امکان ایک سطر کے اشارے سے بہت زیادہ ہے۔
واحد سلسلہ
اگلے k اسپن سب کے سب سرخداؤسرخ18 سرخ نمبروں پر برابر ادائیگی کا داؤ۔ فرانسیسی: rouge۔پورا پڑھیں → ہونے کا امکانریاضیامکانکسی نتیجے کا امکان، 0 سے 1 یا 0% سے 100% تک۔ ایک نمبر: 1/37 = 2.70%۔پورا پڑھیں → (18/37)ᵏ ہے۔ دو: 23.7%۔ پانچ: 2.7%۔ دس: 0.074%، تقریباً 1,350 میں 1۔ بیس: 1.8 ملین میں 1۔ چھبیس، مونٹے کارلو ریکارڈ: 137 ملین میں 1۔ یہ کسی متعین اسپن سے شروع ہونے والے مخصوص سلسلے کے امکانات ہیں، اور یہ وہ سوال ہے جو تقریباً کوئی بھی حقیقت میں نہیں پوچھ رہا۔
ایک نشست میں
لوگوں کا مطلب یہ سوال ہوتا ہے کہ "کیا میری نشست میں کہیں k کا سلسلہ آئے گا؟"، اور جواب (18/37)ᵏ سے کہیں بڑا ہے کیونکہ 200-اسپن کی نشست سلسلے کے شروع ہونے کی تقریباً 200 جگہیں دیتی ہے۔ ایک ہی رنگ، سرخ یا سیاہداؤسیاہ18 سیاہ نمبروں پر برابر ادائیگی کا داؤ۔ فرانسیسی: noir۔پورا پڑھیں →، کے چھ یا اس سے زیادہ کا سلسلہ 200-اسپن کی نشست میں تقریباً 94% بار آتا ہے؛ آٹھ یا زیادہ تقریباً 47%؛ دس یا زیادہ تقریباً 14%۔ رنگ پہلے سے نامزد کریں تو امکانات کم ہو کر تقریباً 75%، 27% اور 7% ہو جاتے ہیں۔ شام بھر بیٹھنے والا کھلاڑی ہر شام طویل سلسلے دیکھے گا۔
مارٹنگیل کو اس کی فکر کیوں ہے
ہر منفی ترقیاتی طریقےحکمت عملیداؤ بڑھانے کا نظامکوئی بھی قاعدہ جو پچھلے نتائج کی بنیاد پر داؤ کی رقم بدلتا ہے۔ منفی نظام نقصان کے بعد بڑھاتے ہیں، مثبت جیت کے بعد۔پورا پڑھیں → کی ایک سلسلے کی لمبائی ہوتی ہے جو اسے توڑ دیتی ہے: $500 حد پر $10 بنیادی داؤ سے چھ ہاریں، فیبوناچیحکمت عملیFibonacciوہ داؤ بڑھانے کا نظام جو 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13… ترتیب کے مطابق ہے: نقصان پر ایک قدم آگے، جیت پر دو قدم پیچھے۔پورا پڑھیں → کے لیے دس، درجنوںداؤدرجن1–12، 13–24 یا 25–36، ادائیگی 2:1۔پورا پڑھیں → پر تین گنا کرنے کے لیے پانچ۔ برابر رقم میں چھ ہاروں کے سلسلے کا امکان (19/37)⁶ ≈ 1.8% فی کوشش ہے، اور 200-اسپن کی نشست میں شاید 100 کوششیں ہوں، اس لیے اتنی لمبائی کی تقریباً پانچ میں چار نشستوں میں شکست آتی ہے۔ رولیٹ میں سلسلوں کا امکان ہی وجہ ہے کہ کھائی نایاب نہیں۔
گرم اور ٹھنڈے نمبر
یہی حساب اکیلے نمبرداؤایک نمبر کا داؤایک نمبر، ادائیگی 35:1۔پورا پڑھیں → پر بھی لاگو ہوتا ہے۔ 300 اسپن میں فی نمبر متوقع گنتی 8.1 ہے؛ معیاری انحرافریاضیمعیاری انحرافتغیر کا مربع جذر؛ نتیجے کا متوقع قدر سے عام فاصلہ۔پورا پڑھیں → تقریباً 2.8 ہے۔ محض اتفاق سے ہر بار کوئی نمبر 15 بار اور کوئی 2 بار ظاہر ہو گا۔ "گرم" نمبروں کو نمایاں کرنے والا نتائج بورڈ معمول کی تقسیم کی چوٹی نمایاں کرتا ہے۔ لیب بتاتی ہے کہ گرم نمبرغلط فہمیگرم نمبروہ نمبر جو حال ہی میں توقع سے زیادہ بار آیا ہو۔ غیر جانب دار پہیے پر یہ کچھ پیش گوئی نہیں کرتا۔پورا پڑھیں → کے کچھ معنی ہونے سے پہلے کتنے اسپن لگتے ہیں (ایک پہچانے گئے پہیے سے ہزاروں)۔
آزادی ہی اصل نکتہ ہے
دس سرخ کا سلسلہ سیاہ کو زیادہ ممکن نہیں بناتا، اور سرخ کو بھی زیادہ ممکن نہیں بناتا۔ دونوں 18/37 ہیں۔ سلسلے بے ترتیب ترتیبوں کی خاصیت ہیں اور ان کی عدم موجودگی مشکوک ہوگی: 200 اسپن کی ایسی ترتیب جس میں چار سے طویل کوئی سلسلہ نہ ہو، بارہ کے سلسلے والی ترتیب سے کہیں مضبوط چھیڑ چھاڑ کا ثبوت ہوگی۔
فارمولا
سوالات
18 اگست 1913 کو مونٹے کارلو میں 26 سیاہ مشہور واقعہ ہے۔ 1943 میں ایک امریکی کازینو میں مسلسل 32 سرخ کی اطلاع ہوئی۔ کازینوؤں کے چلائے گئے اسپنوں کی تعداد کے پیشِ نظر دونوں اتفاق سے ہم آہنگ ہیں۔
دونوں طرح 18/37 ہے۔ جو آپ کا منصوبہ کہتا ہے اس پر داؤ لگائیں، یا کچھ نہ لگائیں۔
نہیں۔ تعصب ہزاروں اسپن میں بعض خانوںساماننمبر خانہگھومنے والے حصے میں 37 نمبر لگے خانوں میں سے ایک۔ اسے slot یا cup بھی کہتے ہیں۔پورا پڑھیں → کے زیادہ بار آنے سے ظاہر ہوتا ہے، کسی رنگ کے سلسلوں سے نہیں۔
ریاضی کے ساتھ تفریح
پہلے خود انہیں حل کرنے کی کوشش کریں۔ ہر حل بند ہے؛ جب تیار ہوں تو کھولیں۔
یورپی پہیے پر اوسطاً کتنے اسپن لگتے ہیں کہ 37 میں سے ہر نمبر کم از کم ایک بار آ چکا ہو؟
حل دکھائیں
جواب اوسطاً تقریباً 155 اسپن؛ وسطانیہ 147 ہے۔
ہر نیا نمبر ایک ایک کر کے آنے کا انتظار گنیں۔ پہلا اسپن ہمیشہ نیا نمبر دکھاتا ہے۔ 1 نمبر دیکھ لینے کے بعد، 37 میں سے 36 نمبر خانےساماننمبر خانہگھومنے والے حصے میں 37 نمبر لگے خانوں میں سے ایک۔ اسے slot یا cup بھی کہتے ہیں۔پورا پڑھیں → نئے ہیں، اس لیے اگلے نئے نمبر کو اوسطاً 37/36 اسپن لگتے ہیں۔ k نمبر دیکھ لینے کے بعد 37/(37 − k) لگتے ہیں۔
انتظار جمع کریں: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4.20 = 155.5 اسپن۔
اس کا زیادہ حصہ آخر میں ہے۔ صرف آخری نمبر کو اوسطاً 37 اسپن اور آخری پانچ کو تقریباً 85 لگتے ہیں۔ امریکی پہیے پر یہی مجموعہ تقریباً 161 دیتا ہے۔ یہ coupon collector کا مسئلہ ہے؛ وہی اوسط معیاری حساب سے نکلتی ہے۔
یورپی پہیے کے 37 اسپنوں میں، ہر خانے کے لیے ایک اسپن، آپ کو کتنے مختلف نمبر دیکھنے کی توقع ہونی چاہیے؟
حل دکھائیں
جواب تقریباً 23.6۔ تقریباً ایک تہائی نمبر، لگ بھگ 13، بالکل نہیں آتے۔
ایک نمبر لیں، مثلاً 17۔ ہر اسپن میں اس کے نہ آنے کا امکان 36/37 ہے، اس لیے اس کے تمام 37 اسپنوں میں نہ آنے کا امکان (36/37)³⁷ ≈ 0.363 ہے۔
ہر نمبر کا امکان ایک سا ہے، اس لیے اوسطاً 37 × 0.363 ≈ 13.4 نمبر غائب ہیں اور 37 − 13.4 ≈ 23.6 آتے ہیں، جن میں سے بہت سے دو یا زیادہ بار آتے ہیں۔
رولیٹ کے کھلاڑی اسے تہائیوں کا قانون کہتے ہیں۔ یہ کوئی قانون نہیں، صرف تکرار کا حساب ہے: پہیے جتنے طویل سلسلے میں تقریباً ایک تہائی نمبر باہر رہتے ہیں، منصفانہ پہیے پر بھی اور کسی دوسرے پر بھی۔ 38 خانوں پر حصہ (37/38)³⁸ ≈ 0.363 بھی ہے؛ بڑے پہیے کے لیے یہ 1/e ≈ 0.368 کے نزدیک ٹھہرتا ہے۔
ایک دوست آپ کو 50 رنگوں، سرخداؤسرخ18 سرخ نمبروں پر برابر ادائیگی کا داؤ۔ فرانسیسی: rouge۔پورا پڑھیں → یا سیاہداؤسیاہ18 سیاہ نمبروں پر برابر ادائیگی کا داؤ۔ فرانسیسی: noir۔پورا پڑھیں →، کی دو فہرستیں دکھاتا ہے، جن میں صفرپہیہصفرواحد سبز نمبر خانہ جسے کوئی برابر ادائیگی، درجن یا ستون داؤ نہیں ڈھانپتا؛ کازینو برتری کا ماخذ۔ اسے ایک صفر اور 0 بھی کہتے ہیں۔پورا پڑھیں → نکالے ہوئے پہیے سے آنے کا دعویٰ ہے۔ ایک 25 بار رنگ بدلتی ہے اور اس کا سب سے طویل سلسلہ چھ ہے۔ دوسری 35 بار رنگ بدلتی ہے اور کبھی تین سے آگے نہیں جاتی۔ کون سی گھڑی گئی؟
حل دکھائیں
جواب دوسری۔ اصلی فہرست تقریباً 24 یا 25 بار رنگ بدلتی ہے۔ 35 تبدیلیوں والی فہرست تقریباً 500 میں ایک بار آتی ہے، اور جس میں تین سے طویل کوئی سلسلہ نہ ہو تقریباً 100 میں دو بار۔
ہر نیا رنگ یا تو پچھلے کو دہراتا ہے یا بدلتا ہے، آدھا آدھا، اس لیے بدلنے کے 49 امکانات اوسطاً 24.5 تبدیلیاں دیتے ہیں، تقریباً 3.5 کم یا زیادہ۔ پینتیس اوسط سے ایسے تین قدم اوپر ہے؛ منصفانہ پہیہ اتنی تبدیلیاں تقریباً 500 فہرستوں میں ایک بار پیدا کرتا ہے۔
سلسلے بھی یہی بتاتے ہیں۔ 50 کی اصلی فہرست میں چار یا زیادہ کا سلسلہ تقریباً 98% بار ہوتا ہے، اور اس کا سب سے طویل سلسلہ اکثر پانچ یا چھ ہوتا ہے۔
جن لوگوں سے بےترتیب فہرست گھڑنے کو کہا جائے وہ بہت زیادہ رنگ بدلتے ہیں، کیونکہ چار یا پانچ کا سلسلہ انہیں نمونے کی طرح لگتا ہے۔ Taylor (2021) طلبہ کی گھڑی ہوئی سکے کے اچھالوں کی فہرستوں میں یہی نشان دکھاتا ہے: اصلی بےترتیبی لوگوں کی توقع سے زیادہ سلسلہ دار ہے۔
کازینو کی کہانیوں کی ایک کتاب ایسے کھلاڑی کا ذکر کرتی ہے جس کا نمبر لگاتار پانچ بار آیا اور اسے ریکارڈ کہتی ہے۔ یورپی پہیے پر یہ کتنا نایاب ہے؟ اور شب و روز 40 بار فی گھنٹہ اسپن دینے والی 20 میزوں کے ایک کازینو میں کہیں نہ کہیں یہ کتنی بار ہونا چاہیے؟
حل دکھائیں
جواب ایک نامزد نمبر کا مسلسل پانچ بار آنا: 69 ملین میں 1۔ کسی بھی نمبر کا پہلی بار آنے کے بعد مزید چار بار آنا: 1.87 ملین میں 1۔ اس کازینو میں سالانہ تقریباً 7 ملین اسپن ہوتے ہیں، اس لیے اسے سال میں پانچ کے سلسلے تین یا چار بار دیکھنے چاہییں۔
ایک نامزد نمبر ہر اسپن میں 1/37 امکان کے ساتھ آتا ہے، اس لیے مسلسل پانچ کا امکان (1/37)⁵ = 69,343,957 میں 1 ہے۔ مگر کوئی پہلے سے نمبر نامزد نہیں کرتا۔ پہلے جو بھی آئے، اگلے چار اسپنوں کو اسے دہرانا ہے: (1/37)⁴ = 1,874,161 میں 1۔
20 میزیں × 40 اسپن × 24 گھنٹے × 365 دن = سال میں 7,008,000 اسپن۔ ہر اسپن ایک سلسلہ شروع کر سکتا ہے، اس لیے کازینو کو 7,008,000/1,874,161 ≈ 3.7 سالانہ پانچ کے سلسلے درکار ہیں۔
اس قسم کا کوئی سرکاری ریکارڈ موجود نہیں، اور ضرورت بھی نہیں: ایک میز پر نایاب واقعہ پورے کازینو میں معمول کا ہے، اور کہانیاں اس میز کی سنائی جاتی ہیں جہاں یہ ہوا۔ Goldman (2007) کی کہانی دوہرے صفر والے پہیے پر ہے، جہاں اعداد 79 ملین میں 1 اور 2.09 ملین میں 1 ہیں۔
مزاحیہ وقفہ
طویل سلسلے ہی بے ترتیبی کی شکل ہیں۔
ذرائع
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.