طویل مدت کا تقارب: رولیٹ میں بڑے اعداد کا قانون
اوسط کیسے −2.70% کی طرف ٹھہرتی ہے، اور اس میں وجدان کے اندازے سے زیادہ وقت کیوں لگتا ہے۔
جیسے جیسے اسپن جمع ہوتے ہیں، فی اسپن اوسط نقصان −1/37 کی طرف تقارب کرتا ہے، اور پھیلاؤ 1/√N کی طرح گھٹتا ہے۔ سرخ پر 1,000 اسپنوں کے بعد اوسط عموماً اپنی متوقع قدر کے ±3% کے اندر ہوتی ہے۔
بڑے اعداد کا قانون
آزاد داؤ کی چلتی اوسط متوقع قدرریاضیمتوقع قدرطویل مدت میں فی داؤ اوسط نتیجہ۔ ہر عام یورپی داؤ کے لیے داؤ کی رقم کا −1/37۔پورا پڑھیں → کی طرف جاتی ہے۔ ایک اکائی داؤرقماکائیوہ بنیادی داؤ کی رقم جس میں کوئی نظام یا کھلاڑی کام کرتا ہے۔ داؤ بڑھانے کے نظام اکائیوں میں بیان ہوتے ہیں تاکہ ہر میز پر لاگو ہوں۔پورا پڑھیں → پر N برابر ادائیگی والے اسپنوں کے بعد فی اسپن اوسط نتیجے کی متوقع قدر −1/37 اور معیاری انحرافریاضیمعیاری انحرافتغیر کا مربع جذر؛ نتیجے کا متوقع قدر سے عام فاصلہ۔پورا پڑھیں → 1/√N ہے۔ N = 100 پر یہ پھیلاؤ داؤ کی رقم کا 10% ہے، جو 2.7% اشارے سے تقریباً چار گنا ہے۔ N = 1,000 پر یہ 3.2% ہے، تقریباً اشارے جتنا۔ N = 10,000 پر یہ 1% ہے، اور برتری صاف دکھائی دیتی ہے۔ برتری ایک نشست میں پوشیدہ اور ایک سال میں بے شک ہوتی ہے۔
کیا تقارب کرتا ہے اور کیا نہیں
فی اسپن اوسط تقارب کرتی ہے۔ کل نہیں: N بڑھنے پر یہ صفر سے مزید دور ہوتی جاتی ہے، متوقع طور پر N کے تقریباً 2.7% سے، جس کے گرد √N کا پھیلاؤ ہے۔ $10 پر 10,000 اسپن کھیلنے والے کھلاڑی کے $2,700 نیچے ہونے کی توقع ہے، کم یا زیادہ $1,000۔ سرخداؤسرخ18 سرخ نمبروں پر برابر ادائیگی کا داؤ۔ فرانسیسی: rouge۔پورا پڑھیں → کا چلتا تناسب بہت پہلے 48.65% کے قریب ٹھہر چکا ہوتا ہے؛ چلتا بیلنس کہیں نہیں ٹھہرتا۔
- p10 −$440
- p25 −$280
- میانہ −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
وجدان کیوں ناکام ہوتا ہے
لوگ توقع رکھتے ہیں کہ برتری جلد دکھائی دے گی کیونکہ 2.70% بہت لگتا ہے، اور یہ کہ طویل سلسلے “برابر ہو جائیں گے” کیونکہ بڑے اعداد کا قانونریاضیبڑے اعداد کا قانونآزاد نتائج کی اوسط آزمائشوں کی تعداد بڑھنے پر متوقع قدر کے قریب آتی ہے۔پورا پڑھیں → کہتا ہے کہ اوسطیں تقارب کرتی ہیں۔ دونوں وجدان پیمانے کو غلط سمجھتے ہیں: برتری ایک اسپن کے تغیرریاضیتغیراس بات کا پیمانہ کہ نتائج متوقع قدر کے گرد کتنی دور تک پھیلتے ہیں۔ ایک نمبر کے داؤ میں زیادہ، برابر ادائیگی کے داؤں میں کم۔پورا پڑھیں → کے مقابلے میں چھوٹی ہے (σ = 1 اکائی بمقابلہ EV = 0.027)، اس لیے ایک معیاری انحراف کے برابر نظر آنے میں (1/0.027)² ≈ 1,400 اسپن لگتے ہیں۔ اور اوسط کا تقارب کل کو واپس کھینچنے کے لیے کچھ نہیں کرتا؛ یہ صرف گزشتہ اتار چڑھاؤ کو مدھم کرتا ہے۔
دوسرے داؤ کے لیے تقارب
ایک نمبر کے داؤداؤایک نمبر کا داؤایک نمبر، ادائیگی 35:1۔پورا پڑھیں → کے لیے σ = 5.84 ہے، اس لیے اسی حساب سے برتری کو ایک معیاری انحراف تک پہنچنے میں (5.84/0.027)² ≈ 47,000 اسپن لگتے ہیں۔ ایک نمبر کا داؤ لگانے والا اپنی دستاویزات میں برتری کو قسمت سے الگ پہچانے بغیر برسوں کھیل سکتا ہے، جبکہ وہ عین وہی 2.70% ادا کرتا ہے جسے سرخ کا کھلاڑی ہفتوں میں دیکھ لیتا ہے۔
نظاموں کی آزمائش کا مطلب
جو شخص دعویٰ کرے کہ کوئی نظام کام کرتا ہے، اسے 10,000 یا زیادہ اسپنوں میں دستاویزی مثبت اوسط دکھانے کے قابل ہونا چاہیے۔ 1,000 اسپنوں پر برابر ادائیگی میں مثبت اوسط مفروضۂ عدم کے تحت پانچ میں ایک واقعہ ہے؛ 100 اسپنوں پر یہ تقریباً سکہ اچھالنے جتنا ہے۔ اس سائٹ کے نقل کار ایک سیکنڈ میں آپ کی منتخب مدت کی 2,000 نشستیں چلاتے ہیں، جو کسی بھی تعریف سے زیادہ ثبوت ہے۔
فارمولا
سوالات
دوبارہ کبھی آگے ہونے کا امکانریاضیامکانکسی نتیجے کا امکان، 0 سے 1 یا 0% سے 100% تک۔ ایک نمبر: 1/37 = 2.70%۔پورا پڑھیں → کھیلنے کے ساتھ صفر کی طرف گرتا ہے۔ کل بغیر حد کے نیچے جاتی ہے۔
نہیں۔ اس کا مطلب ہے کہ گزشتہ اتار چڑھاؤ بڑے نمونے کا چھوٹا حصہ ہو جاتے ہیں۔
برابر ادائیگی کے لیے تقریباً 10,000، اس سے پہلے کہ برتری صاف دکھائی دے۔ ایک نمبر کے داؤ کے لیے تقریباً 50,000۔
ریاضی کے ساتھ تفریح
پہلے خود انہیں حل کرنے کی کوشش کریں۔ ہر حل بند ہے؛ جب تیار ہوں تو کھولیں۔
دو دوست ایک منصفانہ کھیلریاضیمنصفانہ کھیلوہ کھیل جس میں کسی فریق کو برتری نہیں: ہر داؤ کی متوقع قدر صفر ہے۔پورا پڑھیں →، سکے کے اچھال یا سرخداؤسرخ18 سرخ نمبروں پر برابر ادائیگی کا داؤ۔ فرانسیسی: rouge۔پورا پڑھیں → کے مقابلے سیاہداؤسیاہ18 سیاہ نمبروں پر برابر ادائیگی کا داؤ۔ فرانسیسی: noir۔پورا پڑھیں → کے، جس میں صفرپہیہصفرواحد سبز نمبر خانہ جسے کوئی برابر ادائیگی، درجن یا ستون داؤ نہیں ڈھانپتا؛ کازینو برتری کا ماخذ۔ اسے ایک صفر اور 0 بھی کہتے ہیں۔پورا پڑھیں → واپس کیے جاتے ہیں، کے 20 راؤنڈ کھیلتے اور چلتا ہوا اسکور رکھتے ہیں۔ ان راؤنڈوں کو گنیں جن میں ہر ایک آگے ہے (برابری اس کے نام گنی جاتی ہے جو ٹھیک پہلے آگے تھا)۔ کون سا زیادہ ممکن ہے: برتری 10، 10 راؤنڈ ہر ایک کے نام ہو، یا ایک دوست تمام 20 میں آگے ہو؟
حل دکھائیں
جواب ایک دوست کا تمام 20 راؤنڈ میں آگے رہنا بہت زیادہ ممکن ہے: دونوں دوستوں کے 10، 10 راؤنڈ آگے رہنے کے 6.1% کے مقابلے میں 35.2%۔
منصفانہ چلتے اسکور کے 2k راؤنڈ کے بعد برابر ہونے کا امکان u = C(2k, k)/2²ᵏ ہے: 10 راؤنڈ کے بعد 0.246 اور 20 کے بعد 0.176۔ ایک کلاسیکی نتیجہ، قوس-سائن قانون، کہتا ہے کہ کسی نامزد دوست کے 2n راؤنڈ میں بالکل 2k راؤنڈ آگے رہنے کا امکان u(2k) × u(2n − 2k) ہے۔
تمام 20 میں آگے: ہر دوست کے لیے u(20) × u(0) = 0.176، دونوں میں سے کسی ایک کے لیے 35.2%۔ مساوی تقسیم: u(10) × u(10) = 0.246² = 6.1%، تمام تقسیموں میں سب سے کم ممکن۔
اس لیے منصفانہ کھیل میں برتری شاذ ہی ہاتھ بدلتی ہے۔ جو کھلاڑی ساری شام آگے، یا ساری شام پیچھے، رہا ہو اس نے کچھ غیر معمولی نہیں دیکھا، اور اس کا پہیے یا مہارت کے بارے میں کوئی مطلب نہیں۔ Epstein (2013) طویل کھیلوں کے لیے یہی قانون دیتا ہے: آدھے وقت زیادہ خوش قسمت فریق 85% سے زیادہ کھیل کے لیے آگے رہتا ہے۔
مزاحیہ وقفہ
اوسط تقارب کرتی ہے۔ کل بس دور چلی جاتی ہے۔
ذرائع
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.