سوال: سالگرہ کا پہیہ
کوئی نمبر دہرانے سے پہلے کتنے اسپن؟ بیشتر لوگوں کے اندازے سے کہیں کم۔
37 نمبر خانوںساماننمبر خانہگھومنے والے حصے میں 37 نمبر لگے خانوں میں سے ایک۔ اسے slot یا cup بھی کہتے ہیں۔پورا پڑھیں → والے پہیے پر سالگرہ کا سوال: صرف 8 اسپنوں کے بعد اس بات کا امکان نصف سے زیادہ ہے کہ کوئی نمبر پہلے ہی دو بار آ چکا ہو۔ کھلاڑی تکرار کو نمونے کے طور پر پڑھتے ہیں؛ وہ غیر جانب دار پہیے کا متوقع رویہ ہے۔
سوال
ایک غیر جانب دار یورپی پہیہ گھمائیں۔ کتنے اسپنوں کے بعد اس امکانریاضیامکانکسی نتیجے کا امکان، 0 سے 1 یا 0% سے 100% تک۔ ایک نمبر: 1/37 = 2.70%۔پورا پڑھیں → کے کہ کم از کم دو اسپنوں نے ایک ہی نمبر دکھایا ہو، آدھے سے بڑھنے کا وقت آتا ہے؟ بیشتر کھلاڑی 37 کے نصف کے قریب، یعنی 18 یا 19، اندازہ کرتے ہیں۔ جواب 8 ہے۔
حل
تکرار نہ ہونے کا امکان نکالیں اور ایک سے منہا کریں۔ k اسپنوں کے بعد، p(سب مختلف) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37)۔ k = 8 کے لیے: 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44، لہٰذا p(کوئی تکرار) ≈ 0.56۔ k = 14 کے لیے یہ 0.93؛ k = 20 کے لیے 0.996 ہے۔ وجدان ناکام ہوتا ہے کیونکہ اسپنوں کے جوڑوں کی تعداد k² کے طور پر بڑھتی ہے، اور کوئی بھی جوڑا مل سکتا ہے۔
یہ میز پر کیوں اہم ہے
گزشتہ 20 نمبروں کا نتائج بورڈ تقریباً ہمیشہ کم از کم ایک تکرار، اور اکثر دو یا تین، دکھائے گا۔ کھلاڑی دیکھتے ہیں کہ “17 دس اسپنوں میں دو بار آیا” اور نتیجہ نکالتے ہیں کہ 17 گرم ہے؛ سالگرہ کا حساب کہتا ہے کہ دس اسپنوں کے اندر تکرار 74% بار ہوتی ہے اور دہرایا جانے والا نمبر بے ترتیب ہے۔ نمونہ حقیقی ہے؛ اس کا مطلب نہیں۔
ضمنی سوال
کسی مخصوص نمبر، مثلاً 17، کے دو بار آنے تک کتنے اسپن؟ یہ بہت بڑے جواب والا مختلف سوال ہے: متوقع انتظار 74 اسپن ہے، اور 20 اسپنوں میں دو 17 آنے کا امکان تقریباً 10% ہے۔ “کوئی نمبر دہرایا جاتا ہے” (8 اسپن) اور “یہ نمبر دہرایا جاتا ہے” (74 اسپن) کا فرق، بعد میں نظر آنے والے نمونے اور پیشگی کی جانے والی پیش گوئی کا پورا فرق ہے۔
آزمائیں
ڈیمو گیم کو دس اسپنوں کے لیے چلائیں اور تاریخ دیکھیں۔ عموماً ایک تکرار ہو گی۔ اسے پھر چلائیں۔ دہرایا گیا نمبر مختلف ہو گا۔ یہ دس بار کریں تو آپ نے سالگرہ کا سوالریاضیسالگرہ کا سوالکتنے افراد ہوں تو دو افراد کی سالگرہ ایک ہونے کا امکان غالب ہو، یا کتنے اسپن ہوں تو ایک نمبر کے دوبارہ آنے کا امکان غالب ہو۔ 37 نمبر خانوں کے پہیے پر 8 اسپن برابر سے بہتر امکان کے لیے کافی ہیں۔پورا پڑھیں → دیکھا؛ اسے ہزار بار کریں (نقل کار کر سکتے ہیں) تو آپ نے اسے ناپا ہے۔
فارمولا
سوالات
بالکل، 365 دنوں کے بجائے 37 نمبر خانے۔ 23 افراد سالگرہوں کے لیے 50% دیتے ہیں؛ 8 اسپن پہیے کے لیے 56% دیتے ہیں۔
تقریباً 19 اسپنوں کے بعد 50%۔ پھر بھی معمول کی بات۔
نہیں۔ ایک پہیے کے ہزاروں اسپن ایسا کرتے؛ تکرار کبھی نہیں۔
ریاضی کے ساتھ تفریح
پہلے خود انہیں حل کرنے کی کوشش کریں۔ ہر حل بند ہے؛ جب تیار ہوں تو کھولیں۔
امریکی پہیے کے پاس ایک نتائج بورڈ آخری 16 اسپن دکھاتا ہے۔ اس میں کسی نمبر کے دو بار ظاہر نہ ہونے کا امکان کتنا ہے؟
حل دکھائیں
جواب تقریباً 2.5%: تقریباً 40 میں سے 39 بورڈ کم از کم ایک تکرار دکھاتے ہیں۔
اسپن بہ اسپن چلیں۔ پہلا اسپن کچھ بھی ہو سکتا ہے۔ دوسرے میں اس سے بچنا لازم ہے: 38 میں 37 امکانات۔ تیسرے میں دونوں سے بچنا لازم ہے: 38 میں 36۔ سولہویں میں پندرہ نمبروں سے بچنا لازم ہے: 38 میں 23۔
ضرب دیں: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246۔
بغیر تکرار والا بورڈ نایاب ہے۔ تکرار والا بورڈ پہیے کے بارے میں کچھ نہیں کہتا۔
یورپی پہیے کے دس اسپن میں، 17 کے عین پانچ بار آنے کا امکان کیا ہے؟ کسی نمبر، یعنی کوئی بھی نمبر، کے پانچ یا اس سے زیادہ بار آنے کا؟ اور چار اسپن میں کسی نمبر کے کم از کم تین بار آنے کا؟
حل دکھائیں
جواب 17 کا عین پانچ بار آنا: 315,576 میں 1۔ کسی نمبر کا پانچ یا اس سے زیادہ بار آنا: تقریباً 8,333 میں 1۔ چار اسپن میں کسی نمبر کا تین یا اس سے زیادہ بار آنا: 349 میں 1۔
17 پانچ بار: دس اسپن میں سے کن پانچ کا انتخاب کریں، 252 طریقے، ہر ایک کا امکان (1/37)⁵ × (36/37)⁵۔ ملا کر 315,576 میں 1۔
کوئی بھی نمبر: 37 نمبروں میں سے ہر ایک کے پانچ یا زیادہ بار آنے کا امکان 308,325 میں 1 ہے، جو 37 / 308,325، یا 8,333 میں 1 بناتا ہے۔ دو نمبروں کے پانچ پانچ بار آنے کا نایاب معاملہ دو بار گنا جاتا ہے، مگر اسے نکالنے سے اس درستی پر فرق نہیں پڑتا۔
چار اسپن میں تین بار: ایک نمبر کے لیے 37⁴ ممکن نتائج میں 4 × 36 + 1 = 145؛ 37 نمبروں میں سے کسی کے لیے 145/37³ = 349 میں 1۔
دوہرے-صفرپہیہصفرواحد سبز نمبر خانہ جسے کوئی برابر ادائیگی، درجن یا ستون داؤ نہیں ڈھانپتا؛ کازینو برتری کا ماخذ۔ اسے ایک صفر اور 0 بھی کہتے ہیں۔پورا پڑھیں → والے پہیے میں متناسب اعداد 359,275 میں 1، 9,243 میں 1 اور 368 میں 1 ہیں۔ “17” اور “کوئی بھی نمبر” کا فرق پھر birthday problemریاضیسالگرہ کا سوالکتنے افراد ہوں تو دو افراد کی سالگرہ ایک ہونے کا امکان غالب ہو، یا کتنے اسپن ہوں تو ایک نمبر کے دوبارہ آنے کا امکان غالب ہو۔ 37 نمبر خانوں کے پہیے پر 8 اسپن برابر سے بہتر امکان کے لیے کافی ہیں۔پورا پڑھیں → ہے: حیران ہونے کے 37 طریقے ہیں۔
مزاحیہ وقفہ
کچھ جلد دہرایا جاتا ہے۔ وہ چیز بے ترتیب ہے۔
ذرائع
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, roulette questions.