جواری کا مغالطہ
یہ یقین کہ کوئی نتیجہ اس لیے "لازمی" ہے کہ وہ کچھ دیر سے ظاہر نہیں ہوا۔
دس سرخ کے بعد بھی سیاہ کا امکان 18/37 ہے۔ پہیہ کوئی ریکارڈ نہیں رکھتا اور کسی کا مقروض نہیں۔
مغالطہ
اگر سرخداؤسرخ18 سرخ نمبروں پر برابر ادائیگی کا داؤ۔ فرانسیسی: rouge۔پورا پڑھیں → دس بار آ چکا ہو تو بہت سے کھلاڑی سمجھتے ہیں کہ سیاہداؤسیاہ18 سیاہ نمبروں پر برابر ادائیگی کا داؤ۔ فرانسیسی: noir۔پورا پڑھیں → “لازمی” ہے اور اسی کے مطابق داؤ لگاتے ہیں۔ دوسرے سمجھتے ہیں کہ سرخ “گرم” ہے اور اس پر داؤ لگاتے ہیں۔ دونوں اس سلسلے سے استدلال کرتے ہیں جو ختم ہو چکا ہے، اس اسپن کے لیے جو ابھی ہوا نہیں۔ گیندسامانگیندوہ چھوٹی گیند جو گھومنے والے حصے کے الٹ پٹری میں چھوڑی جاتی ہے۔ جدید گیندیں ivorine یا Teflon کی، 18–21 mm ہوتی ہیں۔پورا پڑھیں → نہیں جانتی کہ پچھلے دس اسپن کیا تھے؛ نمبر خانےساماننمبر خانہگھومنے والے حصے میں 37 نمبر لگے خانوں میں سے ایک۔ اسے slot یا cup بھی کہتے ہیں۔پورا پڑھیں → اتنے ہی سائز کے ہیں جتنے ایک گھنٹے پہلے تھے؛ سیاہ کا امکانریاضیامکانکسی نتیجے کا امکان، 0 سے 1 یا 0% سے 100% تک۔ ایک نمبر: 1/37 = 2.70%۔پورا پڑھیں → ہمیشہ کی طرح 18/37 ہے۔
یہ سچ کیوں محسوس ہوتا ہے
طویل مدت میں سرخ اور سیاہ کے تناسب واقعی ہر ایک کے لیے 18/37 تک پہنچتے ہیں۔ اعدادِ کبیر کا قانونریاضیبڑے اعداد کا قانونآزاد نتائج کی اوسط آزمائشوں کی تعداد بڑھنے پر متوقع قدر کے قریب آتی ہے۔پورا پڑھیں → اس کی ضمانت دیتا ہے۔ لیکن تقارب تصحیح سے نہیں، کم اثر ہونے سے ہوتا ہے: مزید 1,000 اسپن کے بعد دس اضافی سرخ تناسب میں گولائی کی غلطی ہوتے ہیں، اس لیے نہیں کہ سیاہ نے کمی پوری کی بلکہ اس لیے کہ نمونہ بڑھ گیا۔ کوئی میکانزم سیاہ کو زیادہ ممکن نہیں بناتا، اور اعدادِ کبیر کا قانون ایسے میکانزم کا تقاضا نہیں کرتا۔
مونٹے کارلو، 18 اگست 1913
Casino de Monte-Carlo کی ایک میز پر سیاہ مسلسل 26 بار آیا۔ تقریباً پندرہویں سیاہ سے، کھلاڑی سرخ پر ٹوٹ پڑے، ہر بار داؤ کو دوگنا اور پھر دوگنا کرتے ہوئے، ہر اسپن کو پچھلے سے زیادہ "یقینی" سمجھتے ہوئے۔ کازینو نے لاکھوں فرانک جیتے۔ پہلے سیاہ سے شروع ہونے والے اس سلسلے کا امکان 137 ملین میں 1 تھا، اور دنیا بھر کے کازینوؤں میں کہیں نہ کہیں آخرکار اس کا واقع ہونے کا امکان عملاً ایک تھا۔ اسی لیے جواری کے مغالطے کو مونٹے کارلو مغالطہ بھی کہتے ہیں۔
غیر معمولی نہیں۔ 44 میں ایک بار ہوتا ہے۔
کھلاڑی نوٹس لینے لگتے ہیں۔ سرخ "لازمی" ہے۔
میز بھر جاتی ہے۔ ہر ہار کے بعد سرخ پر داؤ دوگنا ہوتا ہے۔
دولتیں ہار دی گئیں۔ ہر نیا سیاہ سرخ کو زیادہ یقینی محسوس کراتا ہے۔
سلسلہ ختم ہوتا ہے۔ کازینو نے ان لوگوں سے لاکھوں فرانک جیتے جو ایسے سلسلے کے خلاف داؤ لگا رہے تھے جو یہ "جان" نہیں سکتا تھا کہ وہ سلسلہ ہے۔
گرم ہاتھ
کسی رنگ کا ساتھ اس لیے دینا کہ وہ سلسلے میں ہے، الٹا ہوا وہی غلطی ہے: سلسلہ ختم ہونے کے بجائے جاری رہنے کی توقع کی جاتی ہے۔ ماہرینِ نفسیات اسے گرم ہاتھغلط فہمیگرم ہاتھ کا مغالطہیہ عقیدہ کہ جیت کا سلسلہ، یا ایک نتیجے کا سلسلہ، اگلے کو زیادہ ممکن بناتا ہے۔ پہیے پر یہ الٹا جواری کا مغالطہ ہے۔پورا پڑھیں → کہتے ہیں، Gilovich، Vallone اور Tversky کی 1985 کی اس تحقیق کے بعد جس نے باسکٹ بال شوٹنگ میں سلسلوں کو تلاش کیا اور اتفاق سے بڑھ کر کچھ نہ پایا۔ 2018 میں Miller اور Sanjurjo نے دکھایا کہ آزمائش خود جھکی ہوئی تھی: مختصر ریکارڈ میں، ہِٹ کے فوراً بعد ہِٹ کا حصہ اوسطاً کھلاڑی کی مجموعی شرح سے کم نکلتا ہے، اس لیے بالکل گرم ہاتھ نہ رکھنے والا کھلاڑی بھی کچھ ٹھنڈا دکھائی دیتا ہے۔ تصحیح کے بعد یہی اعداد معمولی گرم ہاتھ دکھاتے ہیں۔ انسان گرم ہو سکتا ہے؛ پہیہ کسی فارم میں نہیں ہوتا۔ کچھ کھلاڑی بیک وقت دونوں عقیدے رکھتے ہیں، کہ سلسلہ "بہت طویل" ہونے تک جاری رہتا ہے اور پھر ختم ہوتا ہے۔ منصفانہ پہیے پر ہر صورت کی متوقع قدرریاضیمتوقع قدرطویل مدت میں فی داؤ اوسط نتیجہ۔ ہر عام یورپی داؤ کے لیے داؤ کی رقم کا −1/37۔پورا پڑھیں → اتنی ہی ہے جتنی سکہ اچھال کر رنگ چننے کی: داؤ کا −2.70%۔
حقیقی میز پر
Croson اور Sundali (2005) نے Reno کے ایک بڑے کازینو میں ایک دوہرے صفرپہیہصفرواحد سبز نمبر خانہ جسے کوئی برابر ادائیگی، درجن یا ستون داؤ نہیں ڈھانپتا؛ کازینو برتری کا ماخذ۔ اسے ایک صفر اور 0 بھی کہتے ہیں۔پورا پڑھیں → والی میز کی 18 گھنٹے کی حفاظتی ویڈیو دیکھی: 139 کھلاڑیوں نے 24,131 داؤ لگائے۔ برابر-رقم داؤداؤبرابر ادائیگی کا داؤسرخ/سیاہ، طاق/جفت، بڑا/چھوٹا۔ 18 نمبر، ادائیگی 1:1۔پورا پڑھیں → میں کھلاڑی مختصر سلسلوں کی پیروی اور ان کے خلاف جانے کے درمیان تقریباً برابر تقسیم تھے۔ لگاتار ایک ہی قسم کے پانچ نتائج کے بعد وہ سلسلے کے خلاف جھکتے، اور چھ یا زیادہ کے بعد ان کے 85% داؤ دوسری جانب ہوتے۔ انہی کھلاڑیوں نے اپنے بارے میں گرم ہاتھ دکھایا: نمبروں پر جیت کے بعد اگلے اسپن میں وہ اوسطاً 13.6 نمبر ڈھانپتے، ہار کے بعد 9.2 کے مقابلے میں۔ ان کے پہیے میں تعصب کا کوئی نشان نہیں تھا، اس لیے ان میں سے کسی کی متوقع قدر نہیں بدلی۔
کازینو کے باہر
وہی کشش وہاں بھی دکھائی دیتی ہے جہاں حقیقی فیصلے ہوتے ہیں۔ Clotfelter اور Cook (1993) نے Maryland کے روزانہ نمبر کھیل کا مطالعہ کیا: جیسے ہی کوئی نمبر نکلا، اس نمبر پر لگی رقم تیزی سے کم ہوئی اور بحال ہونے میں مہینے لگے، حالانکہ قرعہ کشی کی کوئی یاد نہیں۔ Chen، Moskowitz اور Shue (2016) نے اسے پیشہ وروں میں پایا۔ United States کے پناہ کے جج ایک معاملہ منظور کرنے کے بعد اگلا معاملہ مسترد کرنے کے لیے 3.3 فی صد پوائنٹ تک زیادہ ممکن تھے۔ بیس بال امپائر ایک اسٹرائک قرار دینے کے بعد دوبارہ اسٹرائک قرار دینے کے لیے 1.5 پوائنٹ کم ممکن تھے، اور قریب کی پچوں پر اس سے دو گنا سے زیادہ۔ یکساں فیس پانے والے قرض افسران کے میدانی تجربے میں، 9% تک فیصلے اس طرح الٹ گئے۔ مقدمات بے ترتیب ترتیب میں آئے تھے، اس لیے پچھلا فیصلہ اگلے کے بارے میں کچھ نہیں کہتا تھا، جیسے پچھلا اسپن اگلے کے بارے میں کچھ نہیں کہتا۔
الٹا جواری مغالطہ
فلسفی Ian Hacking (1987) نے تیسری صورت کا نام رکھا۔ کوئی شخص کمرے میں داخل ہوتا ہے، پاسوں کی جوڑی کو ڈبل چھ پر ٹھہرتے دیکھتا ہے اور نتیجہ نکالتا ہے کہ انہیں پہلے ہی کئی بار پھینکا گیا ہوگا۔ ہر پھینک میں ڈبل چھ آنا یکساں ممکن ہے، شام کا پہلا ہو یا ہزارواں، اس لیے یہ منظر کچھ نہیں بتاتا کہ کھیل کتنی دیر سے چل رہا ہے۔ رولیٹ میں وہ کھلاڑی ہے جو بورڈ پر آٹھ سرخ دیکھ کر طے کرتا ہے کہ انہیں پیدا کرنے کے لیے میز گھنٹوں سے گھوم رہی ہوگی۔ عام مغالطہ ماضی کو اگلے اسپن میں پڑھتا ہے؛ یہ نایاب منظر کو اس ماضی میں پڑھتا ہے جسے کسی نے نہیں دیکھا۔
ایک ماہرِ نفسیات جو اس پر یقین رکھتا تھا
مغالطے کے صاحبِ علم مدافع بھی رہے ہیں۔ جرمن ماہرِ نفسیات Karl Marbe نے 49,152 پیدائشوں کے چار رجسٹر دیکھے، پایا کہ لگاتار لڑکوں یا لڑکیوں کا طویل ترین سلسلہ 17 تھا، اور نتیجہ نکالا کہ طویل سلسلے اتفاق کے اجازت دینے سے نایاب تر ہیں، اس لیے سلسلہ دوسرے نتیجے کو زیادہ ممکن بناتا ہے۔ محض اتفاق اس کے برعکس کہتا ہے: 196,608 پیدائشوں میں 17 یا اس سے زیادہ کا سلسلہ پانچ میں تقریباً چار بار آتا ہے۔ Marbe نے عین وہی پایا تھا جو بے ترتیب سلسلہ دکھائی دیتا ہے۔ Epstein (2013) یہ واقعہ بیان کرتا ہے؛ سلسلوں کا امکان رولیٹ کی صورت پیش کرتا ہے۔
جہاں مغالطہ لاگو نہیں ہوتا
اگر پہیہ جسمانی طور پر جھکاؤ والا ہو تو ماضی کے اسپن معلوماتی ہوں گے، کیونکہ وہ قسمت کے بجائے خانوں کے بارے میں ثبوت ہوں گے۔ یہی لیب کا موضوع ہے، اور کچھ کہنے کے لیے ایک پہچانے گئے پہیے کے ہزاروں اسپن درکار ہوتے ہیں۔ نامعلوم پہیے پر دس سرخ کے سلسلے کے لیے تعصب کی وضاحت اتفاق والی وضاحت سے کہیں کم ممکن ہے۔
سوالات
نہیں۔ یہ ہر آزاد دہرائے جانے والے واقعے پر لاگو ہوتا ہے: پاسے، سکے، لاٹری نمبر۔
تناسب قریب آ جائیں گے۔ آپ کا نتیجہ پھر بھی آپ کے لگائے ہوئے داؤ کا تقریباً −2.70% ہوگا۔
اوسطوں کا کوئی قانون نہیں۔ اعدادِ کبیر کا قانون ہے، اور وہ کم اثر ہونے سے کام کرتا ہے۔
ریاضی کے ساتھ تفریح
پہلے خود انہیں حل کرنے کی کوشش کریں۔ ہر حل بند ہے؛ جب تیار ہوں تو کھولیں۔
10 بار اچھالنے کے بعد سکے میں 7 چت اور 3 پٹ آتے ہیں۔ 1,000 بار اچھالنے کے بعد 517 چت اور 483 پٹ آتے ہیں۔ کیا پٹ برابر ہو گئے؟
حل دکھائیں
جواب نہیں۔ فرق 4 سے بڑھ کر 34 ہو گیا۔ صرف تناسب برابر کے قریب آیا۔
چت اور پٹ کا تناسب 7/3، تقریباً 2.33، سے گر کر 517/483، تقریباً 1.07، ہو گیا۔ یہاں بڑے اعداد کا قانونریاضیبڑے اعداد کا قانونآزاد نتائج کی اوسط آزمائشوں کی تعداد بڑھنے پر متوقع قدر کے قریب آتی ہے۔پورا پڑھیں → کام کر رہا ہے۔
ان کے درمیان فرق 4 سے بڑھ کر 34 ہو گیا۔ غیر جانب دار سکے کے ساتھ 1,000 اچھالوں کے بعد تقریباً 30 کا فرق معمول کی بات ہے: عام فرق اچھالوں کی تعداد کے مربع جذر کے لگ بھگ بڑھتا ہے، جبکہ تناسب 1 کی طرف ٹھہرتا ہے۔
کسی چیز نے پٹ کو واپس نہیں کھینچا۔ چت کی ابتدائی زیادتی اگلے 990 اچھالوں سے مدھم ہوئی، درست نہیں کی گئی۔
ایک سکہ چار بار اچھالیں اور صرف ان اچھالوں کو دیکھیں جو چت کے فوراً بعد آتے ہیں۔ ان میں سے کتنا حصہ چت ہے؟ ممکنہ 16 ترتیبوں میں سے ہر ایک کے لیے نکالیں اور ان حصوں کی اوسط لیں۔ کیا یہ 50% ہے؟
حل دکھائیں
جواب نہیں۔ یہ 17/42، تقریباً 40.5% ہے۔ اس طرح دیکھا جائے تو غیر جانب دار سکہ چت کے بعد سرد پڑتا معلوم ہوتا ہے۔
16 ترتیبیں لکھیں۔ ان میں سے دو، TTTT اور TTTH، میں پہلے تین اچھالوں کے اندر چت نہیں، اس لیے کوئی اچھال چت کے بعد نہیں آتا؛ یوں 14 رہ جاتے ہیں۔
ہر ترتیب میں چت کے بعد آنے والے اچھال لیں اور ان کا وہ حصہ نکالیں جو چت ہے۔ HHHH میں 3 میں سے 3 ہے۔ HHHT میں 3 میں سے 2 ہے۔ HTHT میں 2 میں سے 0 ہے۔ تمام 14 میں: چھ ترتیبوں میں 0، چار میں 1/2، ایک میں 2/3 اور تین میں 1 آتا ہے (HHHH، THHH اور TTHH)۔
ان حصوں کو جمع کریں: 4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3۔ 14 سے تقسیم کریں: 17/42 ≈ 40.5%۔
کوئی اچھال پٹ کے حق میں نہیں؛ ہر ایک 50–50 ہے۔ جھکاؤ ترتیب بہ ترتیب اوسط لینے سے آتا ہے: چت سے بھری ترتیب میں دیکھنے کے لیے بہت سے اچھال ہیں مگر وہ ایک بار گنی جاتی ہے، بالکل اس ترتیب کی طرح جس میں صرف ایک چت ہو۔ Miller اور Sanjurjo (2018) نے دکھایا کہ 1985 کے hot-hand مطالعے نے اپنے باسکٹ بال کھلاڑیوں کو اسی طرح ناپا تھا، اس لیے جن کھلاڑیوں کا تسلسل اتفاق سے زیادہ نہیں لگتا تھا، حقیقت میں ان کا تسلسل کچھ زیادہ تھا۔
مزاحیہ وقفہ
کم اثر ہونا، نہ کہ تصحیح۔ پہیہ کسی کا مقروض نہیں۔
ذرائع
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”