Kelly معیار اور رولیٹ
Kelly معیار بتاتا ہے کہ برتری رکھنے والے جواری کو کتنی داؤ کی رقم لگانی چاہیے۔ رولیٹ کے لیے اس کا جواب واضح ہے: کچھ نہیں۔
Kelly داؤ کی رقم = برتری / امکانات کا تناسب۔ منفی برتری کے ساتھ فارمولا منفی کسر دیتا ہے، جس کا مطلب ہے داؤ نہ لگائیں۔ یہ معیار پھر بھی یہ سمجھنے میں مفید ہے کہ جھکاؤ سے فائدہ اٹھانے والے کھلاڑی داؤ کی رقم کیوں اس طرح متعین کرتے تھے، اور باقی سب کو بجٹ کے مطابق کیوں مقرر کرنا چاہیے۔
معیار
John Kelly (1956) نے پوچھا کہ معلوم برتری والا جواری کھیل کے سرمائےرقمکھیل کا سرمایہکھیل کے لیے الگ رکھی ہوئی کل رقم۔ کھیل کے سرمائے کا انتظام یہ طے کرتا ہے کہ فی داؤ اور فی نشست اس کا کتنا حصہ خطرے میں ڈالا جائے۔پورا پڑھیں → کی طویل مدتی بڑھوتری زیادہ سے زیادہ کرنے کے لیے داؤ کی رقم کیسے مقرر کرے۔ b:1 کی خالص ادائیگی دینے والے داؤ میں جیت کا امکانریاضیامکانکسی نتیجے کا امکان، 0 سے 1 یا 0% سے 100% تک۔ ایک نمبر: 1/37 = 2.70%۔پورا پڑھیں → p اور ہار کا امکان q = 1 − p ہو تو جواب کھیل کے سرمائے کا حصہ f* = (bp − q) / b داؤ پر لگانا ہے۔ مثبت f* کا مطلب ہے وہ حصہ لگائیں؛ صفر یا منفی کا مطلب ہے داؤ نہ لگائیں۔ Kelly نے Bell Labs میں کام کیا، اور اس کے مقالے “A new interpretation of information rate” نے مسئلے کو Claude Shannon کے نظریۂ معلومات میں رکھا: جواری جو شور والی لائن پر معلومات پاتا ہے، منصفانہ امکانات کے تناسب پر، کھیل کے سرمائے کو زیادہ سے زیادہ اسی شرح سے بڑھا سکتا ہے جس شرح سے لائن معلومات لے جاتی ہے۔ 1961 میں Leo Breiman نے ثابت کیا کہ Kelly داؤ طویل مدت میں بنیادی طور پر ہر مختلف حکمت عملی سے آگے رہتا ہے اور مقررہ ہدف کو تقریباً کم سے کم وقت میں پہنچتا ہے۔
رولیٹ میں Kelly داؤ
سرخداؤسرخ18 سرخ نمبروں پر برابر ادائیگی کا داؤ۔ فرانسیسی: rouge۔پورا پڑھیں → کے لیے: b = 1، p = 18/37، q = 19/37؛ f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37۔ ایک نمبر کے داؤداؤایک نمبر کا داؤایک نمبر، ادائیگی 35:1۔پورا پڑھیں → کے لیے: b = 35، p = 1/37، q = 36/37؛ f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295۔ ہر معیاری داؤ منفی Kelly کسر دیتا ہے، کیونکہ ہر داؤ کی برتری منفی ہے، اور بڑھوتری کے لحاظ سے بہترین داؤ کی رقم صفر ہے۔ رولیٹ میں Kelly داؤ یہ رسمی طور پر کہنے کا طریقہ ہے جو کازینو برتری والا صفحہ کہتا ہے: کوئی ایسی رقم نہیں جس پر منفی متوقع قدر کا داؤ کھیل کے سرمائے کو بڑھائے۔
جہاں Kelly کا اطلاق ہوا
جھکاؤ سے فائدہ اٹھانے والے کھلاڑیوں کے پاس برتری اور داؤ کی رقم مقرر کرنے کا مسئلہ تھا۔ Jagger، García-Pelayos اور Eudaemons، سب کو طے کرنا تھا کہ اپنی ناپی ہوئی برتری پر کتنا داؤ لگائیں؛ کم داؤ برتری ضائع کرتا ہے جبکہ زیادہ داؤ برتری ظاہر ہونے سے پہلے دیوالیہ ہونے کا خطرہ پیدا کرتا ہے۔ نمبر خانےساماننمبر خانہگھومنے والے حصے میں 37 نمبر لگے خانوں میں سے ایک۔ اسے slot یا cup بھی کہتے ہیں۔پورا پڑھیں → کے 30 میں 1 بار آنے پر Kelly اس نمبر پر فی اسپن کھیل کے سرمائے کا 0.57% کہتا ہے: $10,000 کے ساتھ، تقریباً $57 فی اسپن، عام بڑھوتری تقریباً 0.054% فی اسپن، یا 1,000 اسپنوں میں ×1.7۔ اوسط اضافہ اس سے دوگنا، 0.11% فی اسپن ہے، مگر Kelly کا ہدف عام کھیل کا سرمایہ ہے، نہ کہ اوسط، جسے چند بہت خوش قسمت سلسلے بڑھا دیتے ہیں۔ آدھا Kelly معمول کا عملی انتخاب ہے کیونکہ برتری کا اندازہ غیر یقینی ہے۔
عام اور اوسط
عام کھیل کے سرمائے اور اوسط کھیل کے سرمائے کا فرق بہت بڑا ہے۔ ایک ایسا نمبر خانہ لیں جو 25 میں 1 بار آتا ہے، 44% برتری، جو Thorp نے اپنے آلے کے لیے دی ہے۔ Kelly اس پر کھیل کے سرمائے کا 1.26% لگاتا ہے۔ 1,000 اسپنوں کے بعد عام کھیل کا سرمایہ تقریباً 11.5 گنا بڑھتا ہے، جبکہ اوسط، جو چند انتہائی خوش قسمت سلسلوں سے اوپر کھنچتی ہے، تقریباً 249 گنا بڑھتی ہے۔ Kelly سے زیادہ داؤ اوسط بڑھاتا اور عام نتیجہ گھٹاتا ہے: Kelly کی داؤ کی رقم سے دوگنا پر عام کھیل کا سرمایہ صرف دوگنا ہوتا ہے، اور Kelly کی داؤ کی رقم کے ڈھائی گنا پر سکڑتا ہے، اگرچہ ہر داؤ پھر بھی 44% برتری رکھتا ہے۔ کم داؤ کی قیمت کم ہے: آدھی رقم بڑھوتری کے تقریباً تین چوتھائی حصے کو برقرار رکھتی ہے۔
جب برتری اندازہ ہو
Kelly فرض کرتا ہے کہ برتری معلوم ہے۔ میز پر اس کا اندازہ لگایا جاتا ہے، اور عموماً اندازہ بہت زیادہ ہوتا ہے۔ Epstein کی مثال، جو Thorp کے 44% پر بنی ہے، ایک ایسے نمبر کی ہے جو دوہرے صفرپہیہصفرواحد سبز نمبر خانہ جسے کوئی برابر ادائیگی، درجن یا ستون داؤ نہیں ڈھانپتا؛ کازینو برتری کا ماخذ۔ اسے ایک صفر اور 0 بھی کہتے ہیں۔پورا پڑھیں → والے پہیے کے 1,225 اسپنوں میں 49 بار آیا: 25 میں 1 بار، 44% برتری، 1.26% کی Kelly داؤ کی رقم۔ مگر غیر جانب دار دوہرے صفر والے پہیے میں 38 نمبر ہوتے ہیں، اور ان میں مصروف ترین نمبر 1,225 اسپنوں میں 49 یا زیادہ تقریباً نو میں ایک بار پہنچتا ہے۔ کسی بھی ریکارڈ میں مصروف ترین نمبر وہی ہوتا ہے جس کی قسمت نے سب سے زیادہ مدد کی ہوتی ہے، اس لیے واقعی جھکاؤ والا نمبر خانہ بھی ریکارڈ میں اصل سے بہتر دکھائی دیتا ہے: فاتح کا عذاب۔ اگر وہ نمبر خانہ حقیقت میں غیر جانب دار ہے تو Kelly کی رقم صرف ایسا داؤ ہے جو اوسطاً 5.26% ہارتا ہے۔ معمول کے جواب Kelly کا حصہ داؤ پر لگانا اور گنتی جاری رکھنا ہیں، یہاں تک کہ برتری نئے ریکارڈ میں بھی باقی رہے (دیکھیے پہیے کے جھکاؤ کا پتہ کیسے لگائیں)۔
برتری رکھنے والے لوگ
برتری جاننا اور اسے اچھی طرح استعمال کرنا ایک چیز نہیں۔ Haghani اور Dewey (2016) نے 61 افراد کو آدھے گھنٹے تک ایک ایسے سکے پر داؤ لگانے کے لیے $25 دیے جس کے بارے میں انہیں بتایا گیا کہ وہ 60% بار چت آتا ہے، اور جیتی ہوئی رقم کی حد $250 تھی (کھلاڑیوں کو حد کا پتا تب ہی چلا جب وہ وہاں پہنچے)۔ Kelly کہتا ہے کہ ہر بار چت پر کھیل کے سرمائے کا 20% لگائیں، اور مصنفین کا اندازہ ہے کہ 10–20% کے مستقل داؤ تقریباً 95% بار حد تک پہنچ جائیں گے۔ صرف 21% کھلاڑی وہاں پہنچے۔ 28% دیوالیہ ہوئے، 61 میں سے 18 نے ایک ہی پلٹ پر سب کچھ لگا دیا، تقریباً ایک تہائی اپنی ابتدائی $25 سے کم پر ختم ہوئے، اور اوسط خالص ادائیگیرقمخالص ادائیگیجیتنے والے داؤ کی وہ خالص ادائیگی جو واپس کی گئی داؤ کی رقم کے اوپر “X to 1” کے طور پر بتائی جاتی ہے۔پورا پڑھیں → $91 تھی۔ 61 میں سے صرف پانچ نے Kelly معیار کا نام سنا تھا۔ برتری کے ساتھ داؤ کا حجم طے کرتا ہے کہ آپ اسے برقرار رکھتے ہیں یا نہیں؛ اس کے بغیر، جیسے غیر جانب دار پہیے پر، کوئی حجم مدد نہیں کرتا۔
اس کے بجائے کیا استعمال کریں
برتری کے بغیر، داؤ کی رقم مقرر کرنا بڑھوتری نہیں بلکہ بجٹ کا سوال ہے: داؤ کی رقم = وہ رقم جو آپ فی اسپن خرچ کرنے پر آمادہ ہیں، جو فی گھنٹہ بجٹ اور میز کی رفتار سے نکلتی ہے (کھیل کے سرمائے کے انتظام کا صفحہ)۔ Kelly کی عام کھلاڑی کے لیے دین اس کے جواب کی وضاحت ہے: صفر۔ صفر سے اوپر جو کچھ بھی آپ داؤ پر لگاتے ہیں وہ کھیلنے کی قیمت ہے، جسے آپ چنتے ہیں، کسی فارمولے سے بہتر نہیں بنایا جاتا۔
جزوی Kelly اور “رقم کے انتظام” پر ایک نوٹ
“رولیٹ کے لیے Kelly” کے نام سے بیچے جانے والے نظام، جو ہر داؤ پر کھیل کے سرمائے کا مقررہ فیصد تجویز کرتے ہیں، داؤ کی رقم گھٹانے کے ساتھ یکساں داؤحکمت عملییکساں داؤہر اسپن میں ایک ہی رقم داؤ پر لگانا۔ وہ بنیادی پیمانہ جس سے ہر داؤ بڑھانے کے نظام کا موازنہ ہوتا ہے۔پورا پڑھیں → ہیں۔ وہ کل داؤ کی رقمرقمکل داؤ کی رقمنشست یا مدت میں کل لگائی گئی رقم، دوبارہ لگائی جیت کو گن کر۔ اسے handle یا action بھی کہتے ہیں۔پورا پڑھیں → کا 2.70% ہارتے ہیں اور، چونکہ ہارنے کے ساتھ داؤ کی رقم گھٹتی ہے، اس لیے وہ دیوالیہ ہونے کو غیر محتمل بنانے کے بجائے سست کرتے ہیں۔ بجٹ کو دیر تک چلانے کا یہ مناسب طریقہ ہے؛ یہ Kelly نہیں، جو رکنے کو کہے گا۔
فارمولا
سوالات
صرف جھکاؤ والے پہیےتجربہ گاہجھکاؤ والا پہیہایسا پہیہ جس کی جسمانی خرابیاں بعض نمبر خانوں کو 1/37 سے زیادہ ممکن بناتی ہیں۔ نایاب؛ صرف ہزاروں ریکارڈ شدہ اسپن سے معلوم ہوتا ہے۔پورا پڑھیں → یا وقت ناپنے والے آلے سے ناپی گئی برتری کے ساتھ۔ غیر جانب دار پہیے پر نہیں۔
کیونکہ برتری کے اندازے میں غلطی ہوتی ہے، اور زیادہ داؤ لگانا کم داؤ لگانے سے زیادہ مہنگا ہے۔ آدھا Kelly تغیرریاضیتغیراس بات کا پیمانہ کہ نتائج متوقع قدر کے گرد کتنی دور تک پھیلتے ہیں۔ ایک نمبر کے داؤ میں زیادہ، برابر ادائیگی کے داؤں میں کم۔پورا پڑھیں → کے ایک چوتھائی پر بڑھوتری کے تین چوتھائی حصے دیتا ہے۔
نہیں۔ Kelly برتری ہونے پر بڑھوتری کو بہتر بناتا ہے۔ کھیل کے سرمائے کا انتظام برتری نہ ہونے پر خرچ قابو میں رکھتا ہے۔
ریاضی کے ساتھ تفریح
پہلے خود انہیں حل کرنے کی کوشش کریں۔ ہر حل بند ہے؛ جب تیار ہوں تو کھولیں۔
Thorp اور Shannon کے پیش گوئی کے آلے نے تقریباً 44% برتری دی۔ ایک پیش گوئی شدہ نمبر پر، Kelly معیار کھیل کے سرمائےرقمکھیل کا سرمایہکھیل کے لیے الگ رکھی ہوئی کل رقم۔ کھیل کے سرمائے کا انتظام یہ طے کرتا ہے کہ فی داؤ اور فی نشست اس کا کتنا حصہ خطرے میں ڈالا جائے۔پورا پڑھیں → کا 1.26% لگانے کو کہتا ہے۔ اگر یہی 44% برتری پانچ پڑوسی نمبروں پر پھیلے ایک داؤ میں ہو تو کیا ہوگا؟
حل دکھائیں
جواب تب Kelly کھیل کے سرمائے کا 7.1% کہتا ہے، اور سرمایہ تقریباً چھ گنا تیزی سے بڑھتا ہے: 1,000 داؤ میں تقریباً 1.25 ملین گنا، بمقابلہ تقریباً 11.5 گنا۔
44% برتری والا ایک نمبر کا داؤداؤایک نمبر کا داؤایک نمبر، ادائیگی 35:1۔پورا پڑھیں → 0.04 امکان کے ساتھ جیتتا ہے، کیونکہ 36 × 0.04 = 1.44۔ Kelly کی داؤ کی رقم برتری کو نسبت سے تقسیم کرنا ہے: 0.44/35 = 1.26%۔ فی داؤ عام بڑھوتری 0.04 × ln(1 + 35 × 0.0126) + 0.96 × ln(1 − 0.0126) ≈ 0.00244 ہے، اس لیے 1,000 داؤ کھیل کے سرمائے کو تقریباً e^2.44 ≈ 11.5 سے ضرب دیتے ہیں۔
ایک داؤ پانچ نمبروں پر پھیلائیں تو داؤ 0.20 امکان کے ساتھ جیتتا اور اصل داؤ 1 سمیت کل واپسی 36/5 دیتا ہے، یعنی خالص ادائیگی 6.2:1: پھر بھی 44% برتری، کیونکہ 0.2 × 7.2 = 1.44۔ Kelly کی داؤ کی رقم 0.44/6.2 = 7.10% بن جاتی ہے، اور فی داؤ بڑھوتری 0.01404، تقریباً 5.75 گنا، ہو جاتی ہے۔ 1,000 داؤ میں یہ e^14.04، تقریباً 1.25 ملین، ہے۔
برتری ایک ہی ہے؛ اتار چڑھاؤ کم ہیں۔ پانچ میں ایک بار جیتنے والا داؤ تباہی کے خطرے کے بغیر کھیل کے سرمائے کا بڑا حصہ لے سکتا ہے، اور Kelly کی بڑھوتری اس کا بدلہ دیتی ہے۔ Thorp (1984) اسی مثال سے دکھاتا ہے کہ پیش گوئی والے کھلاڑی شعبوںپہیہشعبہپہیے پر نمبر خانوں کی مسلسل قوس، جو نقشے پر کسی گروہ سے الگ ہے۔پورا پڑھیں → پر کیوں داؤ لگاتے ہیں۔ عملی طور پر پانچ پڑوسی نمبرداؤپڑوسی نمبرپہیے پر ایک نمبر اور اس کے دونوں طرف کے دو دو نمبر، پانچ ایک نمبر کی چِپس۔پورا پڑھیں → ایک بہترین نمبر سے ذرا کم برتری رکھتے ہیں (دیکھیے Advantage Play)۔
ایک کھلاڑی کو دو پڑوسی خانےساماننمبر خانہگھومنے والے حصے میں 37 نمبر لگے خانوں میں سے ایک۔ اسے slot یا cup بھی کہتے ہیں۔پورا پڑھیں → ملے ہیں جن میں سے ہر ایک 37 میں 1 کے بجائے 25 میں 1 بار آتا ہے۔ کیا اسے ان دونوں کے درمیان دو نمبروں کے داؤداؤدو نمبروں کا داؤساتھ لگے دو نمبر، ادائیگی 17:1۔پورا پڑھیں → پر 17:1 کی خالص ادائیگی کے لیے لگانا چاہیے، یا ہر نمبر پر ایک نمبر کا داؤ؟ Kelly کتنا کہتا ہے، اور کھیل کا سرمایہ ایسے ایک خانے کے مقابلے میں کتنی تیزی سے بڑھتا ہے؟
حل دکھائیں
جواب کوئی فرق نہیں: دو نمبروں کے داؤ پر کھیل کے سرمائے کا 2.59%، یا ہر نمبر پر 1.29%۔ عام کھیل کا سرمایہ 1,000 اسپنوں میں تقریباً 155 گنا بڑھتا ہے، ایک خانے کے ساتھ 11.5 گنا کے مقابلے میں۔
دو نمبروں کا داؤ امکانریاضیامکانکسی نتیجے کا امکان، 0 سے 1 یا 0% سے 100% تک۔ ایک نمبر: 1/37 = 2.70%۔پورا پڑھیں → 2/25 = 0.08 کے ساتھ جیتتا اور 17:1 کی خالص ادائیگی دیتا ہے، اس لیے یہ لگائی گئی ہر اکائیرقماکائیوہ بنیادی داؤ کی رقم جس میں کوئی نظام یا کھلاڑی کام کرتا ہے۔ داؤ بڑھانے کے نظام اکائیوں میں بیان ہوتے ہیں تاکہ ہر میز پر لاگو ہوں۔پورا پڑھیں → پر 18 × 0.08 = 1.44 واپس دیتی ہے: 44% برتری، ایک متعصب خانے کے برابر۔ Kelly کی داؤ کی رقم برتری کو نسبت سے تقسیم کرنا ہے: 0.44/17 = 2.59%۔
ہر ایک پر 1.29% کے دو ایک نمبر کے داؤ بالکل وہی نتائج دیتے ہیں۔ کسی بھی نمبر کے آنے پر، ایک چِپرقمچِپمقررہ رقم کی نمائندگی کرنے والی چِپ، جو داؤ لگانے کے لیے نقشے پر رکھی جاتی ہے۔ اسے check بھی کہتے ہیں۔پورا پڑھیں → 35:1 کی خالص ادائیگی جیتتی ہے اور دوسری ہار جاتی ہے، خالص 34 × 1.29% = کھیل کے سرمائے کا 44%، جیسے دو نمبروں کا داؤ ادا کرتا ہے؛ جب کوئی نہ آئے تو دونوں ہار جاتی ہیں۔
فی اسپن بڑھوتری 0.00505 ہے، ایک خانے کے لیے 0.00244 کے مقابلے میں، اس لیے 1,000 اسپنوں میں عام کھیل کا سرمایہ e^5.046 ≈ 155 گنا بڑھتا ہے، e^2.44 ≈ 11.5 گنا کے بجائے۔ دو اچھے نمبر ایک کے دو گنا سے کہیں زیادہ قیمتی ہیں، اسی لیے تعصب والے کھلاڑی نمبروں کے گروہوں پر داؤ لگاتے ہیں۔ Thorp (1984) بھی یہی موازنہ کرتا ہے۔
مزاحیہ وقفہ
بڑھوتری کے لحاظ سے بہترین رولیٹ داؤ کی رقم وہ عدد ہے جو سب کو پہلے سے معلوم ہے۔
ذرائع
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”